§ 8. Моменты распределения случайных величин
Начальным
моментом порядка k
называют математическое ожидание
случайной величины
:
,
в
частности, математическое ожидание
равно начальному моменту первого
порядка:
.
Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:
.
В
частности, дисперсия равна центральному
моменту второго порядка:
,
а
=0.
Из определения центрального момента легко получить соотношения, связывающие между собой центральные и начальные теоретические моменты:
,
,
,
и так далее.
Центральные
моменты применяются, например, для
вычисления коэффициентов асимметрии
и эксцесса
,
которые для нормального распределения
равны нулю и поэтому служат для оценки
различия между нормальным распределением
и некоторым другим теоретическим
распределением.
№ 125. Вычислите начальные и центральные теоретические моменты до четвертого порядка включительно для дискретной случайной величины:
|
1 |
3 |
|
0,6 |
0,4 |
Найдите коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Решение. Вычислим начальные моменты:
,
,
,
.
Для вычисления центральных моментов воспользуемся расчетными формулами:
,
,
.
Найдем коэффициента асимметрии и эксцесса:
,
.
Для
систем двух случайных величин вида
определяют следующие моменты:
а)
начальным моментом
порядка
системы
называется математическое ожидание
произведения
:
.
б)
центральным моментом
порядка
системы
называется математическое ожидание
,
Центральный
момент
получил название корреляционного
момента
,
или его называют также и ковариацией
:
.
А
коэффициентом корреляции
случайных величин X
и Y
называют отношение корреляционного
момента к произведению средних
квадратических отклонений этих величин:
.
Эти
величины
служат для характеристики связи между
случайными величинами, а именно: а) если
X
и Y
независимы, то
,
б) если
,
то X и
Y
- зависимые случайные величины. Или
случайные величины
и
называются коррелированными, если
,
и некоррелированными в противном случае.
Отметим,
что коэффициент корреляции
является безразмерной величиной, причем
.
Для
системы, состоящей из n
случайных величин
,
или случайного вектора
можно определить симметричные
ковариационную
и корреляционную
матрицы размерности
:
,
,
.
Здесь
,
,
,
.
№ 126. Вычислите коэффициент корреляции между случайными величинами и по данным № 61.
Решение. Для вычисления коэффициента корреляции по формуле
,
найдем соответствующие числовые характеристики:
,
,
,
.
А
для вычисления
составим закон распределения, для чего
перемножим соответствующие возможные
значения сомножителей:
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,25 |
0,05 |
Тогда
.
Следовательно,
,
что,
в частности, говорит (
)
о зависимости случайных величин
и
.
Ответ:
.
Значение
коэффициента корреляции характеризует
степень линейной функциональной
зависимости между составляющими
и
системы случайных величин
.
Эта зависимость называется линейной
среднеквадратической регрессией
на
,
и имеет вид:
,
где коэффициент
называют коэффициентом регрессии на .
Аналогично выглядит уравнение среднеквадратической регрессии на :
.
Если
,
то речь идет о точной линейной зависимости
между случайными величинами
и
.
Если же
,
то говорят о приближенной зависимости,
причем степень приближенности оценивается
в математической статистике.
№ 127. Построить уравнение среднеквадратической регрессии на по данным № 61.
Решение. Так как
,
то
,
или
.
Ответ:
.
В
приложениях часто рассматриваются
случайные вектора вида
,
где
- одномерные случайные величины,
- некоторые постоянные коэффициенты.
Тогда их числовые характеристики
вычисляются как:
,
.
Или в матричной форме:
,
,
где
- вектор математических ожиданий
составляющих.
№ 128.
Ожидаемая
доходность ценной бумаги
равна 9%, со средним квадратическим
отклонением, равным 6%. Для ценной бумаги
доходность прогнозируется на уровне
11% со средним квадратическим отклонением,
равным 8%. Найти ожидаемую доходность и
среднее квадратическое отклонение
портфеля, состоящего на 30% из ценных
бумаг вида
и на 70% из ценных бумаг вида
,
если корреляция между этими бумагами
равна
.
Решение. Вычислим: а) математическое ожидание (ожидаемую доходность) портфеля
%;
б)
среднее квадратическое отклонение
(риск) портфеля по формуле
,
а именно, используем частный случай:
%.
№ 129. Вычислите начальные и центральные теоретические моменты до четвертого порядка включительно для дискретной случайной величины:
|
-1 |
2 |
|
0,7 |
0,3 |
Найдите коэффициенты асимметрии и эксцесса.
№ 130. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам: по величине и по длительности. Получилась следующая таблица:
|
Краткосрочные |
Долгосрочные |
Мелкие |
0,1 |
0,05 |
Средние |
0,3 |
0,1 |
Крупные |
0,4 |
0,05 |
Определите, независимы ли эти параметры? Если да, то постройте уравнения среднеквадратической регрессии.
№ 131. Решите № 128, если коэффициент корреляции между ценными бумагами равен: а) 1; б) 0,3; в) 0; г) -0,5; д) -1. Проанализируйте влияние коэффициента корреляции на результат.
Г Л А В А IV
Ф У Н К Ц И И С Л У Ч А Й Н Ы Х А Р Г У М Е Н ТО В