§ 7. Классическая задача управления запасами

В качестве приложения законов распределения случайных величин, рассмотрим задачу управления запасами товара на складе в, так называемой, классической форме, выбрав в качестве единичного интервала времени один день. Издержки склада за данный день можно записать в виде

где - запас товара в начале дня , - спрос на товар в течение этого дня, - стоимость издержек хранения единицы товара, - стоимость штрафных санкций за недопоставку единицы товара, - запас товара в конце дня .

Полные издержки (за весь период работы склада) будут равны:

.

Предположим, что спрос является непрерывной случайной величиной , с плотностью распределения и функцией распределения вероятностей . Тогда полные издержки будут вычисляться как математическое ожидание:

,

и задача управления запасами товара на складе ставится следующим образом: определить объем запаса на пополнение товара , минимизирующий средние полные издержки

.

Рассмотрим решение поставленной задачи в статической постановке:

,

то есть, опускаем индекс в записи объемов спроса и пополнения. Тогда для нахождения минимума последнего выражения по переменной , получаем уравнение, решение которого позволяет найти то значение запаса , при котором средние полные издержки достигают минимального значения, а именно:

,

где величину называют плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса.

Таким образом, решение определяет стратегию оптимального пополнения запасов. А именно, величина пополнения запасов , минимизирующая средние полные издержки, задается следующим образом:

Если же спрос представляет собой дискретную случайную величину с вероятностями , , то затраты будут минимальны при таком запасе , при котором справедливо неравенство:

.

В качестве примера непрерывного закона распределения вероятностей случайного спроса рассмотрим, так называемое “треугольное” распределение, которое можно считать “приближением” нормального распределения:

Тогда оптимальный запас можно легко вычислить по формуле:

а значение минимума средних полных издержек вычисляется как:

№ 122. Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 500 руб. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в 5000 руб. Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое необходимо приобрести вместе с агрегатом, если закон распределения вероятностей числа блоков , которые могут выйти из строя, имеет вид:

	0	1	2	3	4	5	6
	0,57	0,24	0,10	0,06	0,02	0,009	0,001

№ 123. Решить задачу № 122, если закон распределения вероятностей числа блоков, которые могут выйти из строя, подчиняется показательному распределению при: а) ; б) ; в) .

№ 124. Некоторая фирма в соответствии с договором реализует со склада по заявкам холодильники, причем ежедневный спрос является величиной случайной и колеблется от 60 до 90 холодильников в день. Средние издержки хранения одного холодильника в день составляют 200 руб., а штраф за недопоставку одного холодильника в день равен 1000 руб. Определить стратегию оптимального пополнения запаса холодильников и минимальные средние полные издержки.