Задача 4. Визначення швидкостей і прискорень точок твердого тіла при поступальному та обертальному рухах Теоретична довідка

1. Поступальним рухом твердого тіла називають такий його рух, під час якого будь-яка пряма, проведена в тілі, зостається весь час паралельною самій собі. Під час поступального руху твердого тіла всі точки описують однакові траєкторії та в кожний момент часу мають однакові швидкості та прискорення. Отже, для вивчення поступального руху твердого тіла достатньо скористатися кінематикою однієї його точки.

2. Обертанням навколо нерухомої осі називають такий рух тіла, в якому дві його точки зостаються весь час нерухомими.

У цьому русі маємо цілу вісь нерухомих точок, яку називають віссю обертання, а всі інші точки описують кола, розташовані в площинах, перпендикулярних до осі обертання, з центрами на цій осі.

Положення тіла в обертальному русі визначається одним параметром – кутом повороту тіла 

.

3. Загальними характеристиками обертального руху тіла є кутова швидкість та кутове прискорення. Кутова швидкість обертального руху тіла дорівнює похідній по часу від кута повороту тіла та є величиною алгебраїчною.

.

Кутове прискорення дорівнює похідній по часу від кутової швидкості або другій похідній по часу від кута повороту тіла.

.

4. Під час обертання тіла будь яка його точка М описує коло радіуса R = OМ навколо точки O, яка розміщена на осі обертання.

Швидкість точки тіла визначають за формулою

.

Отже швидкість точки тіла в обертальному русі пропорційна відстані до точки від осі обертання і напрямлена по дотичній до траєкторії, тобто перпендикулярно до радіуса обертання.

Прискорення точки визначають за його складовими: дотичним та нормальним прискореннями

,

які обчислюють за формулами

,

.

Повне прискорення точки

.

Дотчне, нормальне й повне прискорення, як і швидкості точки, розподілені за лінійним законом, тобто пропорційні відстаням до точки від осі обертання. Напрям дотчного прискорення зумовлений напрямом кутового прискорення та в прискореному русі напрямлене у той самий бік, що й швидкість точки, а в уповільненому русі – у протилежний бік. Нормальне прискорення завжди напрямлене до осі обертання.

Приклад 4.1. Механізм (рис. 12) піднімає або опускає вантаж 1 за допомогою з’єднаних між собою коліс 2 та 3, які обертаються. Рівняння руху вантажу 1 описується виразом

.

Рис. 12

Визначити коефіцієнти С₀, С₁, С₂ у рівнянні руху з таких умов: у початковий момент руху (при ) вантаж має координату та швидкість ; у момент часу =2с координата вантажу дорівнює .

Знайти швидкість і прискорення вантажу 1 та точки М колеса механізму в момент часу t = t₁= 1 с при R₂ = 50 см; r₂ = 25 см; R₃ = 65 см, r₃ = 40 см.

План розв’язування задачі

1. Визначити коефіцієнти С₀ , С₁ , С₂ з початкових умов.

2. Скласти вирази для швидкості та прискорення тіла, що здійснює поступальний рух. .

3. Скласти вирази для швидкості, доцентрового, обертального та повного прискорення точки М у момент часу t = t₁.

4. Обчислити значення швидкості та прискорення тіла, що здійснює поступальний рух. Обчислити значення швидкості, дотичного, нормального та повного прискорення точки М у момент часу t = t_1.

5. Показати на схемі механізму швидкості та прискорення вантажу 1 і точки М.