План розв’язування задачі

1. Визначити положення миттєвого центра швидкостей механізму.

2. Знайти кутову швидкість шатуна АВ.

3. Визначити швидкість повзуна В.

4. Визначити прискорення точки А кривошипа.

5. Знайти доцентрове прискорення точки В при обертальному русі шатуна АВ навколо полюса А.

6. Визначити величину обертального та повного прискорення точки В.

Розв’язування

1. Визначаємо положення миттєвого центра швидкостей заданого механізму. Відомо, що коли задані напрямки швидкостей двох точок плоскої фігури, то точка перетину перпендикулярів, поведених з початку векторів швидкостей цих точок, є миттєвим центром швидкостей Р.

У даному випадку відомі: а) величина та напрям швидкості точки А кривошипа

см/ с;

напрям вектора швидкості перпендикулярний до положення кривошипа ОА; б) напрям вектора швидкості точки В повзуна, тобто напрям (оскільки повзун рухається по вертикальних напрямних, то напрям вектора вертикальний).

Точка перетину перпендикулярів до векторів (точка Р на рис.14)- миттєвий центр швидкостей шатуна АВ механізму.

2. Визначимо кутову швидкість шатуна АВ за формулою

.

З рис. 14 видно, що . Звідси .

Довжину відрізка АD визначимо з : .

Звідси см .

Тоді

см.

Отже, кутова швидкість шатуна А :

см/ с².

3. Знайдемо швидкість повзуна В

,

де (рис. 14):

.

Відрізки дорівнюють:

см,

см ( з ).

Отже

см.

Тоді швидкість повзуна В:

см/ с.

4. Прискорення точки А кривошипа:

.

Оскільки кривошип ОА обертається з постійною швидкістю ω навколо осі О, то кутове прискорення ε = 0 і .

Тоді

см/ с².

5. Доцентрове прискорення точки В, в обертальному русі шатуна АВ навколо полюса А, дорівнює:

,

де см/c².

Тоді доцентрове прискорення точки В:

см/ с².

6. Визначимо величину обертового та повного прискорення точки В. За теоремою про прискорення точок плоскої фігури можна записати:

.

Причому вектор прискорення направлений по ВА від В до А, а вектор прискорення перпендикулярний до нього.

Визначення величини прискорення можна виконати аналітично або графічно.

Аналітичний розв’язок.

Спроектуємо векторну рівність на вісь х, яку направимо вздовж ВА (рис. 15) :

,

звідси:

см/ с².

Щоб визначити спроектуємо векторну рівність на вісь у, що перпендикулярна до осі х (рис. 15). Дістаємо:

.

Звідси

см/с².

Д ля перевірки правильності визначення прискорень використаємо многокутник прискорень. При цьому скористаємось тим, що напрям прискорення відомий (повзун В рухається по вертикальній прямій і вектор вертикальний )

Відкладемо в вибраному масштабі з точки В у напрямку дії векторів їх величину: а_А =640 см/с², см/ с², см/ с². Тоді вертикальний відрізок, що з’єднує початок вектора а_А (точка В) і кінець вектора повинен бути вертикальним і за величиною дорівнювати, в вибраному масштабі, модулю вектора а_В =337,5 см/с². Як видно з рис. 15, це виконується, тобто розв’язок задачі правильний .

Рис. 15

Задача 6. Дослідження складного руху точки Теоретична довідка

Складний рух точки, або взагалі будь-якого тіла, відбувається тоді, коли точка чи тіло рухається в системі координат , яка здійснює рух в нерухомій системі координат . На практиці рухома система координат пов’язана з матеріальним тілом, що здійснює той чи інший рух, а по цьому тілу рухається точка, яка таким чином перебуває в складному русі, бо крім руху по тілу рухається ще й разом з тілом.

Рух точки М відносно нерухомої системи координат називають абсолютним рухом; рух точки М відносно рухомої системи координат називають відносним рухом; рух рухомої системи координат відносно нерухомої системи координат називають переносним рухом.

Швидкості та прискорення точки М в абсолютному русі й у відносному русі називають відповідно абсолютними і відносними швидкостями та прискореннями, а швидкість та прискорення тієї точки M₁ рухомої системи координат , з якою в даний момент часу збігається точка М, називають переносними швидкістю та прискоренням точки М.

Абсолютну швидкість точки М визначають як геометричну суму відносної та переносної швидкостей

.

Прискорення точки М складається з переносного відносного прискорень та прискорення Коріоліса

.

Прискорення Коріоліса виникає тоді, коли переносний рух є обертальним з кутовою швидкістю .

Модуль прискорення Коріоліса обчислюють як модуль векторного добутку

.

Прискорення Коріоліса дорівнює нулю у трьох випадках:

1) коли переносний рух є поступальним або в момент перетворення в нуль кутової швидкості не поступального переносного руху ( );

2) коли відсутній відносний рух точки або у момент перетворення в нуль відносної швидкості рухомої точки ( );

3) коли відносна швидкість точки є паралельною до осі переносного обертання ( , або ). Прикладом такого випадку є рух точки вздовж твірної циліндра, який обертається навколо своєї осі.

Н апрям прискорення Коріоліса визначають за правилом векторного добутку або за правилом Жуковського: для визначення напряму прискорення потрібно спроектувати відносну швидкість точки на площину, перпендикулярну до осі переносного обертання, і повернути отриману проекцію на цій площині у бік переносного обертання на кут (рис. 16).

Рис. 16

П риклад 6.1. Обчислити абсолютні швидкість і прискорення точки М при . Точка M рухається в площині квадрата D за законом см по дузі кола, радіус якого дорівнює стороні квадрата R=25 см. Квадрат обертається навколо точки О₁ (рис. 17) за законом рад.

Рис. 17