Задача 8. Дослідження руху механічної системи за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії Теоретична довідка

Кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичних енергій усіх точок системи

,

де - маса та швидкість і-тої точки системи.

Для твердого тіла, що рухається поступально, кінетичну енергію визначають за формулою

,

де - маса твердого тіла та швидкість його центра мас.

Під час обертання твердого тіла навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю його кінетична енергія

,

де - момент інерції тіла відносно осі обертання.

Під час плоскопаралельного руху тіла його кінетична енергія

,

де - момент інерції тіла відносно осі , яка проходить через центр мас тіла.

Отже під час плоскопаралельного руху кінетична енергія тіла дорівнює сумі кінетичних енергій: поступального руху тіла зі швидкістю центра мас і обертального руху тіла навколо центра мас.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи: зміна кінетичної енергії системи за деякого її переміщення дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх та внутрішніх сил, які діють на систему під час цього переміщення.

,

де та - кінетична енергія системи відповідно в початковому та кінцевому її положенні, - сума робіт зовнішніх сил, прикладених до точок системи, - сума робіт внутрішніх сил, прикладених до точок системи.

Робота внутрішніх сил, які діють на тверде тіло на довільному його переміщенні, дорівнює нулю. Тому теорему про зміну кінетичної енергії для системи абсолютно твердих тіл записують так

.

Приклад 8.1. Механічна система (рис. 24 ), яка розміщена в вертикальній площині, складається з:

1) вантажу 1 масою m₁ = 20 кг, що переміщується по похилій площині (кут нахилу площини ; коефіцієнт тертя між вантажем і площиною f=0,1);

2) циліндричного двоступінчастого блоку шківів 2 масою m₂=80кг, великим радіусом блоку R₂=0,4 м (малий радіус блоку ) та радіусом інерції м. Блок 2 обертається навколо нерухомої шарнірної опори в точці С₂; до шківа прикладений обертовий момент .

3) циліндричного двоступічастого блоку шківів 3 масою m₃=35кг з великим радіусом R₃ =0,2 м (малий радіус r₃ =0,5R₃ ) та радіусом інерції м; на блок діє момент пари сил тертя кочення, коефіцієнт тертя кочення ;

4) вантажу 4 масою m₄=25кг, що підвішений до осі шківа 3.

Визначити швидкість точки осі вала блоку 3 у момент часу, коли тіло 1 переміститься на величину у напрямку, який показаний на рис. 24.

Рис. 24

План розв’язування задачі

1. Записуємо вираз теореми про зміну кінетичної енергії системи.

2. Визначаємо значення кінетичної енергії окремих тіл та системи в цілому в початковому та в кінцевому положеннях системи.

3. Визначаємо роботу зовнішніх сил, прикладених до окремих тіл системи, на переміщеннях, які виконують ці тіла, та сумарну роботу зовнішніх сил.

4. Користуючись виразом теореми про зміну кінетичної енергії системи, визначаємо потрібну величину.

Розв’язування

1. Теорему про зміну кінетичної енергії для системи абсолютно твердих тіл запишемо у вигляді

,

де та - кінетична енергія системи відповідно в початковому та кінцевому її положенні, - сума робіт зовнішніх сил, прикладених до тіл системи.

Оскільки система починає рух зі стану спокою, то

.

Ураховуючи, що система складається з чотирьох твердих тіл, кінетична енергію системи у кінцевому положення дорівнює сумі кінетичних енергій тіл, що утворюють систему

,

де - кінетична енергія вантажу 1, - кінетична енергія блоку шківів 2, - кінетична енергія блоку шківів 3, - кінетична енергія вантажу 4.

Кінетична енергія вантажу 1, що рухається поступально із швидкістю ,

.

Кінетична енергія блоку 2, що здійснює обертальний рух,

,

де - момент інерції блоку відносно осі обертання, що проходить через центр (точка С₂), кутова швидкість обертання блоку 2,

, ;

тоді

.

Кінетична енергія блоку 3, що здійснює плоскопаралельний рух,

,

де: , - кутова швидкість блоку 3, для визначення якої використаємо те, що точка А (рис. 24) збігається з миттєвим центром швидкостей блоку 3,

.

Виразимо через , урахувавши, що

..

Отримаємо

.

Тоді

.

Для визначення швидкості використаємо співвідношення, яке дістанемо, врахувавши, що точка А - миттєвий центр швидкостей,

.

звідси

.

Тоді інетична енергія блоку 3

.

Кінетична енергія тіла 4, що рухається поступально,

.

Сумарна кінетична енергія системи дорівнює

3. Знайдемо роботу всіх зовнішніх сил (рис. 24), прикладених до системи, на заданому її переміщенні.

,

де - роботи сил тяжіння , , , ; - робота сили тертя; - відповідно робота моменту та робота моменту пари сил опору кочення.

Величини сил визначаємо зі співвідношень

; ; ; ; ;

; ;

де - кут повороту диску 3 навколо миттєвого центра швидкостей (т. ), - коефіцієнт тертя кочення.

Визначимо переміщення Н₃ точки С₃ з подібності та

,

де .

Тоді

.

Звідси

.

Отже, роботи сил тяжіння G₃ та G₄ дорівнюють

;

.

Знаходимо сумарну роботу зовнішніх сил

Після підстановки числових значень знаходимо:

4. Користуючись рівнянням теореми про зміну кінетичної енергії системи дістаємо вираз для визначення швидкості :

,

звідси

м/c.

Тоді швидкість точки С₃ дорівнює

м/c .