План розв’язування задачі

1. Скласти диференціальні рівняння руху тіла на ділянці ОА.

2. Визначити проекції рівнодійної R_τ, R_n і рівнодійну R системи сил в положенні М на ділянці ОА.

3. Визначити швидкість тіла v_A в положенні А.

4. Скласти диференціальні рівняння руху на ділянці АВ.

5. Розв’язати диференціальні рівняння руху на АВ і визначити швидкість у положенні В на ділянці АВ.

6. Нехтуючи силою опору повітря скласти диференціальні рівняння руху на ділянці ВС.

7. Розв’язавши диференціальні рівняння руху, визначити висоту падіння h.

Розв’язування

1. Оскільки на ділянці ОА рух відбувається по дузі кола, то диференціальні рівняння руху зручніше записати в натуральних координатах n, τ. На рис. 21 показана ця система координат і проекції рівнодійної R системи сил - R_τ , R_n - на ці осі координат. Рівняння мають вигляд

.

Рис. 21

Якщо врахувати, що та , то з першого рівняння відразу визначаємо значення проекції рівнодійної

.

Проекцію рівнодійної у положенні визначаємо з другого рівняння. Для цього спочатку визначимо швидкість тіла у положенні та час проходження тілом відстані . Швидкість тіла

.

У точці М дугова координата

, м.

У момент часу тіло перебуває в положенні , де

.

Прирівнюючи вирази для у положенні М, дістаємо:

.

Звідси . Тоді швидкість тіла у цей момент часу v_M=2π,м/с.

Підставимо значення v_M =2π у друге з диференціальних рівнянь руху та визначаємо R_n:

.

Рівнодійна R сил, які діють на тіло:

.

Напрямні косинуси вектора рівнодійної R:

, .

2. Для визначення швидкості v_A тіла в положенні А врахуємо, що . Далі визначаємо швидкість тіла у положенні , аналогічно до того, як визначали швидкість у положенні . Отримаємо

та .

Якщо прирівняти ці вирази, то визначимо час t_A, протягом якого тіло досягне положення А

або .

Додатній розв’язок квадратного рівняння:

t_A= 1 + с.

Визначаємо швидкість тіла в положенні А

м/c.

3. Складемо рівняння руху на ділянці АВ. На цій ділянці (рис. 22) тіло рухається по прямій під дією сил: ваги G=mg, тертя F_тр=fN, опору Q=kv та реакції поверхні N.

Диференціальні рівняння руху тіла в осях мають вигляд:

; .

Рис. 22

5. Оскільки при прямолінійному русі на ділянці АВ (уздовж осі n) переміщення , то . Тоді з другого рівняння системи

.

Сила тертя

.

Після підстановки виразів для сил у перше диференціальне рівняння руху на цій ділянці дістаємо:

.

Ураховуючи, що , розділимо обидві частини рівняння на m. За заданими числовими даними обчислюємо ; . Тоді перше рівняння руху зводимо до вигляду

.

Розділимо в отриманому виразі змінні та про інтегруємо праву та ліву частини

,

,

.

Сталу інтегрування С визначимо з початкової умови: при t=0 v=v_A=15,4 м/с.

Тоді , звідси С =19,9 .

Отже, рівняння руху має вигляд:

.

Розв’язуючи це логарифмічне рівняння, отримуємо вираз для визначення швидкості

або

.

Для визначення швидкості тіла в точці В підставимо в останній вираз час руху на ділянці АВ t= с. Дістаємо

v_B=-10,94м/с.

Від’ємне значення швидкості свідчить про те, що під дією сил опору тіло на ділянці АВ у межах часу τ=3 с зупиниться.

Для того, щоб отримати розв’язок задачі про рух тіла на ділянці ВС, змінимо дещо умову на ділянці АВ, прийнявши, що час руху на цій ділянці дорівнює τ=0,3 с .Тоді швидкість тіла в точці В:

м/c.

5 . Складемо та проінтегруємо диференціальні рівняння руху на ділянці ВС. На цій ділянці тіло рухається під дією сили ваги G з початковою швидкістю v_B =13,6 м/c (рис. 23).

Диференціальні рівняння руху на цій ділянці:

, .

Інтегрування першого рівняння дає:

; .

Рис. 23

Сталі інтегрування С₁ і С₂ визначимо з початкових умов: при . З цих умов

, .

Тоді

, .

Перетворимо друге рівняння руху та проінтегруємо його

або

, , .

Сталі інтегрування С₃, С₄, які визначають з початкових умов при t=0 ; дорівнюють

, .

Тоді розв’язок рівняння набирає вигляду

.

Отже рівняння руху тіла на ділянці ВС:

; .

Виключимо час t з рівнянь руху та отримаємо рівняння траєкторії тіла. Це рівняння має вигляд

.

У точці С x = - d = - 4 м , y =h.

Знаходимо h=8,61 м.