План розв’язування задачі

1. Визначити кутову швидкість і кутове прискорення переносного руху тіла.

2. Обчислити швидкість та прискорення відносного руху точки.

3. Визначити швидкість та прискорення переносного руху точки.

4. Обчислити абсолютні швидкість та прискорення точки.

Розв’язування

1. У даному складному русі точки М відносний рух – це рух точки по дузі ОО₁ на квадраті D; переносний рух - це обертальний рух квадрата D навколо точки О₁. Кутова швидкість і кутове прискорення цього руху дорівнюють

, .

Положення точки М при визначається координатою або кутом 

рад=30 .

2. Для обчислення параметрів відносного руху точки, як спостерігач на квадраті, не будемо звертати увагу на обертання квадрата, вивчаючи рух точки по дузі кола ОО₁ (рис. 17). Обчислюємо відносні швидкість й прискорення точки М

, ,

, (рух прискорений)

, .

При маємо

, , .

4. Для обчислення переносних швидкості та прискорення точки уявно з’єднаємо точку М з квадратом і, як нерухомий спостерігач, вивчаємо її рух разом з квадратом (рис. 18), який обертається навколо точки О₁. Одержимо

,

, (рух прискорений),

,

коли :

, , .

Рис. 18

Оскільки переносний рух є обертальним, то крім відносного та переносного прискорень слід обчислити також прискорення Коріоліса

, .

Вектор переносної кутової швидкості (кутової швидкості обертання квадрата D), напрямлений перпендикулярно до площини рис. 18 від нас. Отже, за правилом векторного добутку вектор напрямлений перпендикулярно до площини векторів і у той бік, звідки поворот вектора до вектора на кут менший ніж 180° видно проти ходу годинникової стрілки. Величина прискорення Коріоліса при дорівнює

.

Зобразимо всі параметри цього складного руху на рисунку та обчислимо абсолютні швидкість і прискорення способом проектування на координатні осі Оxy (рис. 19):

,

,

,

,

,

звідси

;

,

; ; .

Рис. 19

Побудувавши у певному масштабі , , , , можна одержати напрямок абсолютної швидкості і напрямок абсолютного прискорення.

Задача 7. Дослідження руху матеріальної точки під дією заданих сил Теоретична довідка

З кінематики відомо, що рух матеріальної точки в просторі можна описати трьома способами: векторним, координатним і натуральним. Кожному із цих способів відповідають диференціальні рівняння руху матеріальної точки, які встановлюють на підставі основного рівняння динаміки точки

_.

Якщо рух матеріальної точки масою описують векторним способом, тобто її положення в просторі визначається радіусом-вектором , то диференціальне рівняння руху цієї точки має вигляд:

де - рівнодійна сил, що діють на точку.

Це рівняння називають диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі.

Якщо рух матеріальної точки масою описують координатним способом, тобто її положення в просторі визначається координатами , , , то диференціальні рівняння руху цієї точки мають вигляд:

.

Ці рівняння називають диференціальними рівняннями руху матеріальної точки в координатній (декартовій) формі.

Якщо рух матеріальної точки масою описують натуральним способом, тобто її положення на траєкторії визначається дуговою координатою , то диференціальні рівняння руху цієї точки в проекціях на осі натурального тригранника мають вигляд:

,

де , - радіус кривизни траєкторії в точці .

Такі рівняння називають диференціальними рівняннями руху матеріальної точки в натуральній формі або формі Ейлера.

Приклад 7.1. Тіло масою m=2,5 кг рухається в вертикальній площині в порожнистій трубці, форма якої показана на рис. 20. На зігнутій у вигляді півкола радіуса r=6 м ділянці ОА закон руху тіла має вигляд s=π(t²-2t+1), м. Положення довільної точки задається кутом φ=π/6, рад. На ділянці АВ тіло рухається вздовж прямої під дією таких сил: ваги G=mg , тертя F_тр=fN (коефіцієнт тертя f =0,1), опору Q=kv (k=0,3), реакції поверхні N. Час руху тіла на ділянці АВ дорівнює 3 с. На ділянці ВС тіло падає на горизонтальну площину в точці С, відхилившись від вертикалі на відрізок d=4м. Визначити: величину та напрям рівнодійної R системи сил у положенні М тіла на ділянці ОА, швидкість v_A тіла в положенні А, швидкість v_B тіла в положенні В та висоту падіння тіла h.

Рис. 20