Тема 3. Динаміка обертального руху

Момент інерції

Теорема Штейнера

Тіло		Вісь обертання	Момент інерції
Полий циліндр радіусом		Вісь симетрії
Суцільний циліндр (диск) радіусом с		Вісь симетрії
Тонкий стержень довжини		Вісь перпендикулярна стержню і проходить через його середину
Тонкий стержень довжини		Вісь перпендикулярна стержню і проходить через його кінець
Куля радіусом		Вісь проходить через центр кулі

Типові задачі

3.1. До обода суцільного диска радіусом прикладена стала дотична сила . При обертанні на диск діє момент сил тертя . Визначити масу диска, якщо відомо, що його прискорення постійна величина .

Розв’язання:

	За означенням моменту сили . За основним законом динаміки твердого тіла . Для диска . Отже , .

Відповідь:

3.2 Куля радіусом і масою обертається навколо вісі симетрії згідно рівняння . Визначити момент сили в момент часу .

Розв’язання:

	За основним законом динаміки твердого тіла: . Визначаємо закон зміни кутової швидкості: .

Для кулі .

Відповідь: .

3.3. На шків радіуса масою намотана невагома нерозтяжна нитка, на кінці якої знаходиться вантаж масою . Визначити, з яким прискоренням буде рухатись вантаж.

Розв’язання:

Шків обертається під дією обертового моменту , де , а плече сили .

За основним законом динаміки обертального руху:

.

Момент інерції диска . Використовуючи зв’язок між кінематичними характеристиками прямолінійного руху та руху по колу, маємо:

.

^{Відповідь: .}

3.4. Визначити момент інерції тонкого однорідного стержня довжиною і масою відносно вісі, яка перпендикулярна до стержня і проходить: а) через його кінець; б) через точку, яка знаходиться від кінця стержня на його довжини.

Розв’язання:

	а) Визначаємо момент інерції стержня відносно осі, яка проходить через точку С (середина):

а) Згідно теоремі Штейнера

, де .

.

б) Використаємо теорему Штейнера

, де .

Відповідь:

Задачі для розв’язування

1. До шківа редуктора прикладена дотична сила . Діаметр шківа , його маса . Вважаючи шків диском, визначити за який час після початку дії сили шків буде мати швидкість .

2. Вал, момент інерції якого , обертається з постійною швидкістю . Визначити гальмівний момент, під дією якого вал зупиниться за час .

3. Визначити момент інерції тонкого однорідного стержня довжиною і масою відносно вісі, яка перпендикулярна до стержня і проходить: а) через його середину; б) через його кінець; в) через точку, яка знаходиться на відстані від кінця стержня.

4. Дві маленькі кульки масою кожна з’єднані тонким невагомим стержнем довжиною . Знайти момент інерції системи відносно осі, яка перпендикулярна до стержня і проходить через центр ^{стержня.}

5. Однорідний стержень обертається навколо осі, що проходить через його середину. Рівняння його обертального руху , де: _. Визначити момент сили, діючий на стержень в кінці другої секунди після початку руху. Момент інерції стержня .

6. Однорідний круглий диск діаметром і вагою робить ? Сила тертя, прикладена до ободу диска, може зупинити його за . Визначити величину цієї сили.

7. На барабан масою намотаний шнур, до кінця якого прив’язаний вантаж масою . Знайти прискорення вантажу. Барабан вважати однорідним циліндром. Тертям знехтувати.

8. Колесо, обертаючись рівносповільнено при гальмуванні, зменшило за швидкість обертання від до . Момент інерції колеса . Визначити кутове прискорення вала і гальмівний момент.

9. Маховик у вигляді диска масою і радіусом був розкручений до частоти і потім залишений сам на себе. Під дією тертя маховик зупинився. Знайти момент сил тертя, вважаючи його сталим, якщо: а)маховик зупинився через ; б) маховик до повної зупинки зробив 200 обертів.

10. Знайти момент інерції кулі відносно осі, яка співпадає з дотичною до її поверхні. Радіус кулі , її маса .

Задачі для самостійного розв’язування

1. Маховик обертається згідно з рівнянням , де , , . Знайти середню потужність, яку розвивають сили, що діють на маховик при його обертанні, до зупинки, якщо його момент інерції дорівнює .

2. Який шлях пройде диск, який котиться без ковзання, піднімаючись вгору по похилій площині з кутом нахилу , якщо йому надана початкова швидкість , паралельна похилій ^{площині?}

3. Горизонтальна платформа масою обертається з частотою навколо вертикальної вісі, яка проходить через центр платформи. Людина масою стоїть при цьому на краю

платформи. З якою швидкість почне обертатись платформа, якщо людина перейде від краю платформи до її центра? Вважати платформу однорідним диском, а людину точковою масою.

4. Визначити момент інерції кулі радіусом , в центрі якої знаходиться порожнина радіусом .

5. Визначити момент інерції куба зі стороною , який обертається навколо вісі симетрії.

Література: [1, c. 55-63], [2, c. 90-102], [4, c. 21-32].