§ 3.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

В

Рис. 3.6

ыделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат x, y, z, (рис. 3.6). Выберем в центре параллелепипеда точку А. Давление в этой точке будет . Так как это давление является непрерывной функцией координат, то, разлагая функцию в ряд Тэйлора в окрестности точки А с точностью до бесконечно малых первого порядка, получим следующие соотношения для давлений p₁ и p₂ в точках 1 и 2 на гранях параллелепипеда, перпендикулярных оси x

;

.

Давления в точках 1 и 2 можно также записать в виде отношения силы к площади

; , (3.9)

где F₁ и F₂ - силы, действующие в точках 1 и 2.

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось x

, (3.10)

где F_m-массовая сила, определяемая по формуле

, (3.11)

где dm – масса элементарного параллелепипеда.

Подставляя (3.9), (3.11) в (3.10), получим

.

Подставляя формулы для p₁ и p₂, найдем

.

Отсюда

.

Аналогичные уравнения можно получить, если спроектировать действующие на параллелепипед силы на оси y и z. В итоге будем иметь систему трех дифференциальных уравнений вида

(3.12)

где X, Y, Z, - проекции ускорений массовых сил, приходящихся на единицу массы.

Эти уравнения впервые были выведены Эйлером в 1755 г. и называются уравнениями равновесия жидкости Эйлера. Они показывают, что при равновесии жидкости массовые силы уравновешиваются соответствующими поверхностными силами.

В векторной форме эти уравнения имеют вид

,

где ; , , - орты координатных осей;

.

При i = 1 j = k = 0; при j = 1 i = k = 0; при k = 1 i = j = 0.

§ 3.4. Потенциал массовых сил

Умножая уравнения Эйлера (3.12) соответственно на dx, dy, dz и почленно складывая, получим

. (3.13)

Так как p= f (x, y, z,), то полный дифференциал этой функции будет

. (3.14)

Следовательно, правая часть уравнения (3.13) есть полный дифференциал

. (3.15)

Равенство (3.15) имеет смысл лишь в том случае, если левая его часть есть также полный дифференциал какой-то функции. Обозначим эту функцию через . Тогда полный дифференциал ее будет

. (3.16)

Примем, что

. (3.17)

Из сопоставления (3.15), (3.17) получим

X= ; Y= ; Z= .

Функцию называют потенциальной функцией, а силы для которых эта функция существует, - силами, имеющими потенциал.

Отсюда приходим к следующему выводу: жидкость может находиться в равновесии только под действием массовых сил, имеющих потенциал, так как только такие силы удовлетворяют уравнениям равновесия Эйлера.