§ 4.11. Уравнение бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

В идеальной жидкости, в отличие от реальной, отсутствуют силы внутреннего трения (отсутствует вязкость). Благодаря вязкости в реальной жидкости происходят потери механической энергии потока на трение внутри жидкости и о стенки канала. При этом происходит рассеивание (диссипация) энергии. Энергия, потерянная на трение, превращается в теплоту и идет на пополнение запаса внутренней энергии жидкости, а часть ее отводится в виде тепла через стенки канала.

Внутренняя энергия жидкости не может быть непосредственно использована для приведения жидкости в движение и поэтому в гидравлике рассматривается как потеря механической энергии (потеря напора).

Для реальной жидкости равенство нарушается и вместо него имеем , где – потеря напора на участке 1-2. Тогда для элементарной струйки реальной жидкости уравнение Бернулли примет вид

.

Таким образом, полный напор вдоль струйки реальной жидкости уменьшается. Для характеристики относительного изменения полного напора на единицу длины вводится понятие о гидравлическом уклоне

.

Например, на прямом участке трубопровода 1-2

,

где l_1-2 - длина участка 1-2.

Таким образом, гидравлическим уклоном называется отношение потери напора к длине, на которой она происходит.

Кроме того вводится еще понятие о пьезометрическом уклоне

.

Пьезометрический уклон может быть положительным, равным нулю и отрицательным.

§ 4.12. Уравнение бернулли для потока реальной жидкости

Применение уравнения Бернулли, выведенного для отдельной струйки, для потока жидкости затрудняется неравномерностью распределения скоростей по живому сечению потока, наличием поперечных составляющих продольной скорости и влиянием центробежных сил. В связи с этим необходимо установить характеристику потоков, для которых можно применять уравнение Бернулли, а также предложить способ учета неравномерности скоростей в живых сечениях потока.

Рис. 4.19

Рис. 4.20

Для решения этих вопросов в гидравлике выделяется так называемое плавно изменяющееся движение (рис. 4.19, 4.20), которое характеризуется следующими особенностями.

1. Угол расхождения соседних струек, а, следовательно, и поперечные составляющие скоростей в живых сечениях потока настолько малы, что ими можно пренебречь и рассматривать течение как происходящее только с продольной скоростью.

2. Кривизна линий тока настолько мала, а радиусы закруглений настолько велики, что центробежными силами в таких потоках можно пренебречь.

3. Кривизна живых сечений при неравномерном распределении скорости настолько невелика, что их можно рассматривать как плоские.

4. Г

   

   Рис. 4.21

   идродинамическое давление в живых сечениях распределяется по законам гидростатики, т.е. сумма z + p/ = const для всех точек данного живого сечения. Следовательно, уровень в пьезометрах при плавно-изменяющемся движении во всех точках живого сечения потока будет одним и тем же (рис. 4.21).

В случае плавноизменяющегося движения уравнение Бернулли для элементарной струйки можно распространить и на поток с поперечным сечением конечных размеров, скорости в различных точках которого различны. Однако в гидравлике обычно расчеты ведутся по средним скоростям. Для приведения результатов расчетов по средним скоростям в соответствие с расчетами по действительным скоростям вводятся некоторые поправочные коэффициенты (коэффициент Кориолиса, см. ниже).

Таким образом, плавноизменяющееся движение можно считать практически одномерным, т.е. положить , направив ось x параллельно потоку. Отсюда _y0; _z0. Тогда уравнения Навье-Стокса примут вид

;

;

.

Последние два уравнения переходят в уравнения гидростатики Эйлера, а это означает, что в плоскости y0z давления распределяются по закону гидростатики.

Распространим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в виде

(4.15)

на поток реальной жидкости.

Правая и левая части этого уравнения есть удельная энергия жидкости, т.е. энергия, отнесенная к единице веса. Весовой расход элементарной струйки определяется по формуле

,

где d - сечение элементарной струйки; - объемный расход.

Умножая обе части уравнения (4.15) на dG, получим не удельную, а полную энергию элементарной струйки в сечениях 1 и 2 и полную потерю этой энергии между сечениями 1 и 2 в единицу времени, т.е. ,

где - энергия струйки в 1-м сечении;

- энергия струйки во 2-м сечении;

- потеря энергии между 1-м и 2-м сечением.

Или

.

Для того чтобы получить подобные соотношения мощностей для всего потока

,

необходимо произвести интегрирование

. (4.16)

Преобразуем эти интегралы

.

Так как при плавноизменяющемся движении , то во всех точках данного сечения , .

Аналогично

.

Запишем третий интеграл в левой части соотношения (4.16) в виде

,

т.е. выразим его как произведение некоторого коэффициента  на скоростной напор, подсчитанный по средней скорости потока и на весовой расход жидкости .

Коэффициент  носит название коэффициента кинетической энергии потока или коэффициента Кориолиса. Таким образом,  представляет отношение кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что скорости всех точек живого сечения потока равны средней скорости потока, т.е.

; (4.17)

;

;

.

Кроме того из (4.17) следует

.

Отсюда заключаем, что коэффициент  характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Для ламинарного режима  ≈ 2, для турбулентного режима   1,05 - 1,1.

Существенно большее значение  для ламинарного режима течения по сравнению с турбулентным объясняется большей неравномерностью скорости в поперечном сечении потока при ламинарном режиме (см. профили скоростей ламинарного и турбулентного режимов течения, приведенные на рис. 6.17).

Последний интеграл в (4.16) будет .

Тогда уравнение Бернулли для потока примет вид

.

Поделив на весовой расход жидкости обе части уравнения, получим соотношение для удельных энергий потока

.

Обычно для упрощения гидравлических расчетов трубопроводов для турбулентных потоков принимают  = 1 и уравнение Бернулли для потока будет иметь вид

.