§ 4.8. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения навье-стокса)
Вязкой называется такая жидкость, которая при своем движении оказывает сопротивление сдвигающим усилиям. Все жидкости, существующие в природе, являются вязкими. Поэтому вязкую жидкость называют еще реальной жидкостью. Рассмотрим поверхностные силы, действующие в вязкой жидкости.
В вязкой жидкости ввиду наличия сил трения возникают касательные напряжения. Поэтому напряжения, действующие на площадку, могут быть направлены как угодно по отношению к ней, а не обязательно по нормали.
В вязкой жидкости различают два рода напряжений (рис.4.13).
Рис. 4.13
1.Нормальное напряжение pnn - проекция pn на нормаль n в данной точке поверхности.
2.Касательное напряжение - проекция pn на касательную плоскость к поверхности в данной точке. Касательные напряжения имеют место лишь при движении вязкой жидкости.
Рассмотрим теперь схему поверхностных сил, действующих в вязкой жидкости (рис.4.14). Первый индекс при p указывает нормаль к площадке, на которую действует напряжение, второй - ось, на которую оно спроектировано.
Выделим в движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами, параллельными осям x, y, z и рассмотрим поверхностные силы, действующие на его гранях.
Условимся считать нормальное напряжение положительным в том случае, когда оно направлено по внешней нормали. То есть в данном случае нормальное напряжение направлено противоположно давлению. Нормальное напряжение - это реакция жидкого элемента на воздействие окружающей его жидкости.
Рис.4.14
В вязкой жидкости, в противоположность
невязкой, напряжение зависит от
ориентации площадки в данной точке.
Однако, как строго доказывается в
теоретической гидромеханике, сумма
всех нормальных напряжений
в данной точке не зависит от ориентации
площадки и, следовательно, эта сумма
является скалярной функцией только
координат точки и времени, в связи с
чем вводится новое понятие о
гидромеханическом давлении
,
.
Гидромеханическим давлением в вязкой
жидкости называется давление, величина
которого равна среднему арифметическому
из величин любых трех н
Рис.
4.15
,направленные
по внешней нормали, всегда отрицательны,
а p - должно быть
положительным, как это обычно принимают
в гидравлике. Таким образом, понятия
гидромеханического давления в вязкой
жидкости и гидродинамического давления
в невязкой идеальной жидкости существенно
различны.
Дадим упрощенный вывод уравнений движения вязкой жидкости применительно лишь к частному случаю несжимаемой жидкости. Рассмотрим вначале одномерное движение жидкости в направлении, параллельном оси Ox.
Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx,dy,dz (рис.4.15). Соотношение (4.9) для сил, действующих на элементарный параллелепипед, в данном случае будет
,
(4.10)
где Fтр – сила трения, определяемая по формуле
.
По закону Ньютона для касательного напряжения τ имеем
.
Отсюда сила трения будет равна
.
Формулы для сил F1, F2, Fm, Fи смотреть в § 4.7. Подставляя эти силы и силу трения в (4.10), получим
.
Отсюда
,
где .
В общем случае движения в трехмерном пространстве, когда x изменяется по всем направлениям, а не только в направлении оси z, проекция силы трения на ось x определится более сложным выражением
.
Тогда уравнение движения в проекции на ось x будет
.
Или для всех трех осей x, y, z получим в развернутом виде
;
;
.
Последние три уравнения называются уравнениями Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости.
Или в векторной форме
,
где
;
- орты координатных осей (см. § 3.3).
Уравнения Навье-Стокса являются основными в гидромеханике вязкой жидкости. Но они определяют течение реальной вязкой жидкости вполне лишь тогда, когда подтверждается закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости.
Добавим к полученным уравнениям движения уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
.
Полагая, что внешние массовые силы X, Y, Z заданы, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями . Следовательно, получена замкнутая система уравнений.
Принципиально эта система при заданных условиях однозначности дает возможность строгого решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости. Однако аналитические решения уравнений Навье-Стокса найдены лишь для весьма ограниченного круга частных случаев.