§ 3.15. Центр давления и определение его координат

Точка приложения суммарной силы давления называется центром давления. Определим координаты центра давления и (рис. 3.20). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей F относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.

С

Рис. 3.20

оставим уравнение моментов сил F и dF относительно оси 0y.

.

Силы F и dF определим по формулам

;

.

Тогда

.

Cокращая выражение на  и sin, получим

,

где - момент инерции площади фигуры относительно оси 0y.

Отсюда

.

Заменив по известной из теоретической механики формуле, где J_c - момент инерции площади фигуры относительно оси, параллельной 0y и проходящей через центр тяжести, получим

.

Из этой формулы следует, что центр давления всегда расположен ниже центра тяжести фигуры на расстоянии . Это расстояние называется эксцентриситетом и обозначается буквой e.

Координата y_d находится из аналогичных соображений

,

где - центробежный момент инерции той же площади относительно осей y и l. Если фигура симметрична относительно оси, параллельной оси 0l (рис. 3.20), то, очевидно, , где y_c - координата центра тяжести фигуры.

§ 3.16. Простые гидравлические машины. Гидравлический пресс

Гидравлический пресс применяется для получения больших усилий, которые необходимы, например, для прессования или штамповки металлических изделий.

Принципиальная схема гидравлического пресса показана на рис. 3.21. Он состоит из 2-х цилиндров - большого и малого, соединенных между собой трубкой. В малом цилиндре имеется поршень диаметром d, который приводится в действие рычагом с плечами a и b. При движении малого поршня вниз он оказывает на жидкость давление p, которое по закону Паскаля передается поршню диаметром D, находящемуся в большом цилиндре.

При движении вверх поршень большого цилиндра прессует деталь с силой F₂ Определим силу F₂, если известна сила F₁ и размеры пресса d, D, а также плечи рычага a и b. Определим сначала силу F, действующую на малый поршень диаметром d. Рассмотрим равновесие рычага пресса. Составим уравнение моментов относительно центра вращения рычага 0

,

где - реакция поршня на рычаг.

Рис. 3.21

Отсюда .

Давление жидкости под малым поршнем будет

,

где - площадь сечения малого поршня.

По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Следовательно, давление жидкости под большим поршнем также будет равно p_ж. Отсюда сила, действующая на большой поршень со стороны жидкости, будет

,

где - площадь сечения большого поршня.

Подставляя в последнюю формулу p_ж и учитывая, что , получим

.

Для учета трения в манжетах пресса, уплотняющих зазоры, вводят коэффициент полезного действия пресса <1. В итоге расчетная формула примет вид

.