§ 6.5. Расход жидкости

Найдем расход жидкости, протекающей через данное сечение ламинарного потока. Выделим в потоке элементарное кольцо, ограниченное радиусом r и (рис.6.8).

Э

Рис. 6.8

лементарный расход составит

,

а полный расход будет

. (6.6)

Подставляя (6.5) в (6.6), получим

.

Определяя интеграл, будем иметь

. (6.7)

Найдем среднюю по сечению скорость

. (6.8)

Отношение средней скорости к максимальной будет

.

откуда

.

Выведем формулы для гидравлического уклона J.

Из уравнения для расхода (6.7), учитывая, что , получим

.

Отсюда

. (6.9)

Так как

и

,

то

. (6.10)

Формулы (6.9) и (6.10) называются формулами Гагена - Пуазейля.

Из формулы (6.9) видно, что при одном и том же расходе гидравлический уклон обратно пропорционален диаметру в 4-й степени. А из формулы (6.10) следует, что гидравлический уклон прямо пропорционален средней скорости .

§ 6.6. Коэффициент линейных потерь при ламинарном движении жидкости

Зная закон распределения скорости в поперечном сечении, можно вывести теоретические формулы для определения расхода жидкости, потери напора на трение, а также коэффициент линейных потерь  при ламинарном режиме течения.

Средняя по сечению скорость согласно формуле (6.8) равна

.

Учитывая, что и , получим

.

Отсюда

или

.

После некоторых преобразований найдём

.

Отсюда получим

.

Сравнивая с формулой Дарси - Вейсбаха

,

находим

.

П

Рис. 6.9

оследнее соотношение представляет формулу Пуазейля для определения коэффициента трения  (коэффициента линейных потерь).

Логарифмируя формулу Пуазейля, получим

.

Из последнего соотношения следует, что зависимость  от Re будет выражаться в логарифмических координатах прямой линией с углом наклона к оси абсцисс, равным 45⁰ (рис. 6.9).

Многочисленные эксперименты полностью подтверждают правильность для ламинарного изотермического потока полученных теоретических выводов. Тем самым подтверждается и правильность закона Ньютона для внутреннего трения, положенного в основу этих выводов. При Re  2300, т.е. при турбулентном режиме, закон Пуазейля неприменим.

§ 6.7. Формирование изотермического ламинарного потока

Изучение скоростей отдельных частиц жидкости по длине потока показывает, что на участке вблизи входа в трубопровод частицы движутся неравномерно. Частицы, расположенные вблизи оси потока, движутся ускоренно, а частицы, находящиеся у стенки, замедленно. Поэтому эпюры скоростей в различных сечениях на этом участке трубопровода будут различными. На участке длиной l_н будет происходить формирование профиля скорости ламинарного потока. Длина входного участка l_н, на котором заканчивается формирование потока, называется длиной начального участка (рис.6.10).

Рис. 6.10

Рассмотрим формирование ламинарного потока в трубопроводе, вход в который сделан плавным. Жидкость поступает в трубу с почти одинаковой скоростью по всему сечению и только на стенке скорость жидкости равна нулю. По мере удаления от входа толщина затормаживаемого слоя жидкости у стенки увеличивается. Но так как расход жидкости Q остается одним и тем же, то замедление слоев, расположенных у стенки, приводит к увеличению скорости слоев, расположенных ближе к оси трубы. Сформировавшемуся равномерному изотермическому ламинарному потоку жидкости в трубе соответствует параболический закон распределения скоростей. Такое распределение скоростей теоретически наступает лишь на расстоянии от входа в трубу, равном бесконечности. Но практически уже на конечных расстояниях от входа распределение скоростей мало отличается от параболического. Для ламинарного потока можно принять .

Формирование турбулентного потока происходит на длине .