§ 3.5. Интеграл уравнений эйлера для несжимаемой жидкости

Проинтегрируем уравнение (3.17) при  =const

.

Отсюда

, (3.18)

где c - постоянная интегрирования. Полагая, что при p=p₀ потенциальная функция u = u₀, будем иметь

.

Отсюда

_. (3.19)

Подставляя (3.19) в (3.18), получим

или

.

Последнее соотношение является интегралом уравнений Эйлера для несжимаемой капельной жидкости.

Так как величина не зависит от давления p₀ и определяется лишь системой массовых (но не поверхностных) сил, то отсюда следует, что насколько изменится давление p₀, на столько же изменится и давление p в любой точке жидкости. Отсюда можно сформулировать закон Паскаля: давление, производимое на поверхность капельной жидкости, находящейся в равновесии, передается всем ее частицам без изменения его величины.

§ 3.6. Уравнение поверхности равного давления

Поверхностью равного давления называется такая выделенная в жидкости поверхность, гидростатическое давление во всех точках которой одно и то же. Для такой поверхности, очевидно, dp=0. Так как , то уравнение поверхности равного давления будет

.

Придавая C различные значения, будем переходить от одной поверхности равного давления к другой. Это уравнение является уравнением семейства поверхностей равного давления. Поверхности равного давления и равного потенциала совпадают. Так как =dp, то при dp =0 du =0 и u =const.

Определение уравнения поверхности равного давления по заданным массовым силам производится по уравнению

. (3.20)

Ввиду отсутствия массовых сил по осям x, y и с учетом того, что массовая сила по оси z , уравнение (3.20) примет вид или dz=0.

Отсюда z=const.

Следовательно, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность - горизонтальные плоскости.

§ 3.7. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда покоящаяся жидкость заключена в сосуде и находится под воздействием только силы тяжести (рис. 3.7).

Рис. 3.7

В выражении

; ; .

Тогда

или

.

Интегрируя, получим

. (3.21)

Для освобождения от произвольной постоянной C примем дополнительные условия.

При , , тогда

. (3.22)

Выражая C из (3.22) и подставляя в (3.21), получим

,

где - глубина погружения точки А.

Отсюда получаем формулу для определения гидростатического давления в точке на глубине h под свободной поверхностью (формула гидростатического давления)

. (3.23)

Разделив уравнение (3.21) на , получим

.

Последнее уравнение для любых двух частиц одного и того же объема жидкости будет

.

Полученное уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Из уравнения (3.23) следует, что давление возрастает по линейному закону с увеличением глубины погружения в несжимаемую жидкость.

Сопоставляя и , находим

.

Интегрируя, получим

или

.

Потенциальная функция в данном случае есть потенциальная энергия силы тяжести mgh, отнесенная к единице массы m

.