§ 4.9. Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

В технической гидромеханике уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же элементарной струйки.

При выводе этого уравнения принимаются следующие допущения.

1. Движение жидкости установившееся.

2. Массовые силы имеют потенциал, т.е.

;

;

.

3. Жидкость баротропна, т.е. плотность является функцией лишь одного давления .

Запишем уравнения движения Эйлера

;

;

.

Умножим обе части каждого из уравнений на dx, dy , dz соответственно и сложим полученные соотношения

(4.11)

Считая dx, dy, dz не любыми произвольными приращениями координат, а приращениями, взятыми по какой-либо линии тока, а также учитывая, что при установившемся движении линии тока и траектории частиц совпадают, получим

Преобразуем левую часть уравнения (4.11)

В правой части уравнения будем иметь

.

Так как , то .

Отсюда уравнение (4.11) примет вид

Или

.

Интегрируя последнее соотношение по линии тока, получим

, (4.12)

где - функция Громеко; С – константа интегрирования.

Соотношение (4.12) называется интегралом Бернулли или уравнением Бернулли в общем виде. Оно показывает, что при установившемся движении баротропной идеальной жидкости в поле потенциальных сил сумма трех членов U, P и одинакова во всех точках на данной линии тока. Очевидно, что оно будет верно также и для элементарной струйки тока, выделенной вокруг данной линии тока.

В частном случае тяжелой несжимаемой невязкой жидкости будем иметь потенциал массовой силы тяжести в виде

. (4.13)

Для несжимаемой жидкости и функция Громеко приводится к виду

. (4.14)

Подставляя (4.13), (4.14) в (4.12), получим

.

С учетом найдем

.

Отсюда для двух различных точек линии тока или для двух различных сечений элементарной струйки можно написать

.

Таким образом, для всех частиц, расположенных на одной и той же линии тока, сумма трех величин и сохраняет постоянное значение.

§ 4.10. Физический и геометрический смысл уравнения бернулли. Напор жидкости

Уравнению Бернулли можно дать два различных истолкования: физическое и геометрическое.

С физической точки зрения уравнение Бернулли есть выражение закона сохранения энергии для движущейся жидкости.

Действительно, рассмотрим величину

.

Эта сумма 3-х слагаемых называется полным напором жидкости или гидродинамическим напором.

С физической точки зрения напор есть механическая энергия жидкости, отнесенная к единице веса жидкости. Для того чтобы это показать, рассмотрим жидкость, движущуюся по трубопроводу (рис.4.16). Выделим в движущейся жидкости частицу M с массой m, веса . Потенциальная энергия этой частицы в поле силы тяжести по отношению к плоскости сравнения 0-0 будет mgz, а потенциальная энергия, отнесенная к единице веса, будет

Рис. 4.16

Рис. 4.17

,

т.е. z - есть удельная потенциальная энергия положения частицы жидкости - энергия, отнесенная к единице веса.

Под действием давления p частица жидкости М может подняться на высоту и, следовательно, совершить работу (рис.4.17)

,

т.е. она обладает потенциальной энергией давления в размере

.

Потенциальная энергия давления, отнесенная к единице веса, будет

,

т.е. - есть удельная потенциальная энергия давления частицы жидкости – энергия, отнесенная к единице веса жидкости.

Кроме того, выделенная частица обладает скоростью и, следовательно, имеет кинетическую энергию, равную .

Кинетическая энергия, отнесенная к единице веса, будет

.

Напор жидкости

будет, следовательно, равен полной энергии частицы жидкости, отнесенной к единице веса.

Таким образом, физическое истолкование уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в том, что для любых сечений 1 и 2 полная удельная энергия остается неизменной:

или

.

У

Рис. 4.18

равнению Бернулли можно дать наглядное геометрическое истолкование. Для этого снова рассмотрим отдельные члены суммы

,

где z – геометрическая высота данной частицы жидкости над условной плоскостью сравнения.

- пьезометрическая высота – высота, на которую поднимется жидкость в пьезометре.

- скоростная высота - высота, на которую поднимется жидкость, имея начальную скорость .

Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Бернулли в любом сечении элементарной струйки идеальной жидкости представляет собой сумму 3-х высот: геометрической, пьезометрической и скоростной, которая остается неизменной.

График уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости представлен на рис. 4.18.

Если сечение струйки увеличивается, то скорость падает, а давление возрастает, т.е. энергия, сохраняясь в целом, переходит из одного вида в другой (кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот).