5.2.9 Расчет внешней устойчивости ψ(g) графа g

Рассчитаем внешнюю устойчивость графа G, т.е. наименьшее число вершин графа G смежных со всеми остальными вершинами графа.

Составим табл. 5.3 отображений для графа G и дополним ее столбцом несмежных вершин.

Таблица 5.3— Таблица отображений графа G

xi	Hi	┐Hi
4	5,7	6,8,9
5	4,6,7	8,9
6	5,7	4,8,9
7	4,5,6,8,9
8	7,9	4,5,6
9	7,8	4,5,6

Анализ табл. 5.3 показывает, что в столбце ┐H_i есть несмежные вершины. В этом случае необходимо построить еще одну таблицу — табл. 5.4 следующим образом.

Табл. 5.4 строится на базе строк табл. 5.3, в которых нет знака в столбце ┐H_i. В нашем случае таких строк — пять. В строках первого столбца табл. 5.4 пары вершин, образованные полным перебором вершин из первого и второго столбцов табл. 3. В строках второго и третьего столбцов табл. 5.4 указываются смежные и несмежные вершины, соответственно, для {х_i,х_j}, перечисляемых в строках первого столбца табл. 5.4.

Для нашего примера имеем табл. 5.4.

Таблица 5.4 — Таблица отображений и несмежных вершин для двухэлементных подмножеств

{xi,xj}	H(xi,xj)	┐H(xi,xj)
x4,x5	x6,x7	x8,x9
x4,x7	x5,x6,x8,x9
x5,x6	x4x7	x8,x9
x5,x7	x4,x6,x8,x9
x7,x6	x5,x8,x9	x4
x7,x8	x4,x5,x6,x9
x7,x9	x4,x5,x6,x8
x8,x9	x7	x4,x5,x6

Если в табл. 5.4 найдется , т.е. хотя бы в одной строке столбца 3 табл. 5.4 будет стоять знак , то расчеты завершены. В противном случае необходимо перейти к формированию новых таблиц отображений и несмежных вершин для трех элементных подмножеств , т.е. H(x_i,x_j,x_k) и ┐H(x_i,x_j,x_k) и т.д.

В нашем примере во второй, четвертой, шестой и седьмой строках стоят знаки . Значит, расчеты закончены и можно приступать к анализу табл. 5.3 и табл. 5.4.

По итогам анализа таблицы 5.4 можно сформировать множество T потенциальных ядер графа G, т.е.

Т= {{ x₄,x₅},{ x₄,x₇},{x₇,x₈},{x₇, x₄}},

где T₁={ x₄,x₅}, T₂={x₅,x₇}, T₃={x₇,x₈}, T₄={x_7, x₄}.

Тогда ψ(G)= {| |}= {| |}|_i=1;4=2.