10.2.4 Минимизация булевой функции методом карт Карно

Минимизируем по методу карт Карно СДНФ (1). Для этого построим специальную таблицу. Поскольку функция (1) — функция четырех переменных, то размерность таблицы — 4 х 4 квадрата. Эти квадраты имеют специальную численную нумерацию. На рис. 10.1 эта нумерация дана в десятичной, а на рисунке 10.2 в двоичной системах счисления.

12	14	6	4
13	15	7	5
9	11	3	1
8	10	2	0

Рисунок 10.1— Таблица с десятичной нумерацией квадратов

1100	1110	0110	0100
1101	1111	0111	0101
1001	1011	0011	0001
1000	1010	0010	0000

Рисунок 10.2 — Таблица с двоичной нумерацией квадратов

Очевидно, что нумерация квадратов таблицы на рис. 10.2 соответствует векторам значений четырех переменных из таблицы истинности булевой функции. Далее заполним таблицу на рис. 10.2 информацией о СДНФ (1). Для этого ниже соответствующих номеров проставим «1». Получим таблицу на рис. 10.3.

1100 1	1110 1	0110	0100
1101	1111 1	0111 1	0101 1
1001	1011	0011 1	0001 1
1000	1010	0010	0000

Рисунок 10.3 — Таблица с информацией о СДНФ булевой функции

Помимо численной разметки, таблица может иметь и буквенную разметку, которая обозначает области, для которых значение переменной остается постоянным (рис. 10. 4).

Суть метода карт Карно состоит в визуальном анализе таблицы на рис. 10.4. В ходе анализа используется понятие «смежные элементы—квадраты таблицы». На рис. 10.5 это понятие пояснено графически для СДНФ отличной от рассматриваемого примера.

1100 1	1110 1	0110	0100
1101	1111 1	0111 1	0101 1
1001	1011	0011 1	0001 1
1000 1	1010	0010	0000 1

Рисунок 10.5 — Таблица с информацией о СДНФ булевой функции

Светло-серым цветом показаны четыре смежных элемента. Они «примыкают» друг к другу, т.е. имеют общие стороны и в векторах хначений переменных по два одинаковых значения одних и тех же компонент (показано овалом). Темно-серым цветом также показаны смежные элементы. Они имеют общую сторону, выделенную жирной линией и по три одинаковых значения одних и тех же компонент. Таким образом, смежные элементы следует искать не только «внутри» таблицы, но и по ее сторонам.

Для получения минимальной ДНФ можно объединять по 8, 4, 2 смежных элемента таблицы. Если объединяются восемь элементов, сокращенная конъюнкция имеет (n– 3),т.е. (4 – 3) = 1 переменную, если объединяются четыре элемента, то (n – 2), а если два элемента, то (n – 1).

Проанализирует таблицу на рисунке 10.4:

1. восьми смежных элементов нет;

2. четыре смежных элемента есть (они показаны на рис. 10.6 темно-серым цветом). Запишем покрывающую их сокращенную конъюнкцию

Других четырех смежных элементов нет;

3. Два смежных элемента есть (они показаны на рисунках 10.6 —10.8 светло-серым цветом). Причем, как оказалось, таких вариантов несколько.

Для варианта двух смежных элементов на рис.10.6 имеем покрывающую их конъюнкцию:

Для варианта двух смежных элементов на рис. 10.7 имеем покрывающую их конъюнкцию:

Для варианта двух смежных элементов на рис. 10.8 имеем покрывающую их конъюнкцию:

Других смежных двух элементов нет.

По результатам анализа таблицы имеем несколько вариантов минимальной ДНФ:

(8)