8.2 Обозначения

При выполнении расчетно-графической работы применяются следующие обозначения:

φ_ij — объем информации, энергии вещества, передаваемой от одного узла сети к другому,

С_ij — наибольший поток, который может пропустить дуга,

x₀ — вершина-исток,

φ₀ = ∑ φ_0i — величина потока-истока, где φ_{0i —} величина потока по каждой i--ой дуге, исходящей из x_{0 ,}

x_k — вершина-сток,

φ_k=∑ — величина потока вершины-стока, где величина потока по каждой i-ой дуге, входящей в х.

3. Краткие теоретические сведения

Полное описание алгоритма Форда—Фалкерсона приведено в [4]. Ниже даны обозначения и краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения РГР № 4.

Для любой промежуточной вершины х_i (рис. 8.2) графа G сумма исходящих потоков равна сумме заходящих потоков.

Рисунок 8.2 — Потоки через промежуточную вершину графа—сети G

Алгоритм Форда-Фалкенсона использует для поиска максимального потока разметку вершин. Если по дуге (x_s , x_i ) возможно увеличение потока, т.е. _< , то вершину x_i следует пометить +S, что указывает на источник увеличения потока. Если по дуге (x_i , x_j)

также возможно увеличение потока, т.е. _< , то вершину x_j следует пометить +i. Это означает, что приращение потока пойдет по направлению дуги (x_i , x_j) от вершины x_s (обозначено пунктиром).

Если по дуге (x_t , x_j) также возможно увеличение потока, т.е. _< , то вершину x_j следует пометить +t, что указывает на источник увеличения потока, однако, если вершина x_j не имеет пометок +i, то для увеличения потока во фрагменте сети следует уменьшить поток в дуге (x_i , x_j) и направить его далее по другим дугам фрагмента на сток. Для указания вершины, от которой следует уменьшить поток, ставят пометку —j. Это означает, что на участке (x_i , x_j) поток должен быть уменьшен на величину .

Вершины x_i , x_j могут иметь одновременно по несколько подходящих и отходящих дуг. При допустимых и для вершины x_j возможны две метки +t и +i, а для вершины x_i — +s и —j. Это свидетельствует о свободе выбора приращения потока либо на величину , либо .

Если дуга (x_s , x_i) насыщена, т.е. , то метку +s у вершины x_i ставить нельзя. Так же, если насыщении дуга (x_t , x_j), т.е. , то метку +t у вершины x_j ставить нельзя.

Если вершина x_j не помечена, то ставить метку —j у вершины x_i нельзя. Когда обе вершины графа (x_i , x_j) имеют метки, то это означает невозможность увеличения потока на дугах стока. Так достигают max значения потока от двух вершин x_s и x_t по дугам стока, исходящим из вершин x_i , x_j..

8.4 Пример выполнению расчетов по алгоритму Форда-Фалкерсона

Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрим граф G, изображенный на рис. 8.3.

Каждая дуга графа—сети G на рис. 8.3 взвешена парой ( ). Так, например, дуга (x₀ , x₁) имеет вес (0;2), означающий, что текущая величина потока по дуге φ₀₁=0, а наибольший потока, который может пропустить дуга равен двум единицам, т.е. c₀₁ =2.

На входе величина потока равна нулю, т.е. .