2. Размерность и базис линейного пространства.

Размерностью линейного пространства называется величина равная наибольшему числу имеющемуся в нем линейно независимых векторов. Например, на прямой существует один линейно независимый вектор, а любые два вектора – линейно зависимы. Следовательно, прямая представляет одномерное пространство - R¹. На плоскости существуют два линейно независимых вектора, а любые три – линейно зависимы. Следовательно плоскость является двухмерным пространством R². В пространстве существует три линейно независимых вектора. Поэтому размерность пространства равна трем – R³.

В линейном пространстве размерности n-Rⁿ должны существовать n независимых векторов , а любые n+1 векторов должны быть линейно зависимы. Выберем в этом пространстве еще один вектор , тогда совокупность векторов , - линейно зависима, так как их число равно n+1>n. Поэтому найдется такой набор чисел λ_1,λ_2,…λ_n, что . При этом λ≠0 т.к. в противном случае вектора - линейно зависимы. Отсюда вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов . . Предположим, теперь, что ; ; , тогда (1). Докажем теперь единственность такого разложения методом отпротивного. Пусть существует другое разложение вектора по векторам т.е. . Тогда или , но по условию линейно независимы, поэтому для выполнения равенства необходимо чтобы ; ; . Следовательно мы доказали, что любой вектор может быть, и притом единственный образом, представлен в виде линейной комбинации линейно независимых векторов ( ). Совокупность таких векторов и называется базисом n-мерного линейного пространства, а числа ( ) – координаты вектора в этом базисе. Число этих векторов равно рангу системы. Так в R¹любой вектор . На плоскости R² , где и - неколлинеарные вектора этой плоскости. И, наконец, в пространстве , где , и - три некомпланарных вектора пространства.

Разложение (1) можно более коротко записать в виде или просто - в соответствии с правилом получившем название «соглашение о суммировании» - предложенном А.Эйнштейном. Индекс k называется индексом суммирования.

Следует отметить, что при заданном базисе векторы пространств R¹, R², R³- определяются своими координатами, т.е. эти пространства могут быть рассмотрены как частные виды пространства Rⁿ при n=1,2,3.

3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.

Рассмотрим базис пространства Rⁿ, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса. ; - по условию ортогональности при i≠j, ,j=(1,2,…n).

Ортогональные базисы удобны потому, что координаты разложения произвольного вектора определяются очень просто без трудоемких вычислений .

Действительно, разложим произвольный вектор в ортогональном базисе. Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами в данном базисе:

(1)

умножим обе части этого равенства, представляющие собой вектора, на вектор .

В силу свойств скалярного произведения векторов, получим:

Однако, в силу взаимной ортогональности векторов базиса, все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент x₁ будет определятся по формуле

Умножая поочередно (1) на другие базисные векторы получим общую формулу для коэффициентов разложения вектора .

;

Частным случаем ортогонального базиса является случай, когда все векторы имеют единичную длину | |=1 ; в таком случае базис называют нормированным и координаты разложения имеют наиболее простой вид:

i=1,2,….n