2. Уравнение прямой на плоскости

Простейшей из линии является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в Оxy разные виды ее уравнений.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости задана произвольная прямая не параллельная оси Oy. Точка M(x,y)- произвольная точка. Проведем через т. N(0,b) линию параллельную Ox. Рис.2. Тогда угол между нашей прямой и Nx' обозначим через α, а ,т.е. обозначив tgα=k получим :

э то и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом. Число K=tgα- угловой коэффициент прямой. y

1 ) если b=0, то y=Kx- прямая проходит через т.О r α

2 )если α=0, то y=b-прямая, II оси x α

3

Рис.2.

) если α=π/2, то прямая Оx x

2) Общее уравнение прямой X

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными x и y в общем, виде:

(1)

Где А,В,С,- произвольные цифры, причем А и В не равны нулю одновременно, т.е. А²+В²≠0.

1)Пусть В≠0,тогда разделив уравнение на В получим:

Пусть ,

Тогда y=kx+b-уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2)пусть В=0, тогда получим:

Уравнение прямой параллельно оси Оy. То есть при любых значениях коэффициента В уравнение представляет собой уравнение прямой. Это уравнение и называется уравнением прямой в общем виде.

3) Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через т.М (x₀,y₀) направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде y=kx+b, где b- пока неизвестно. Так как прямая проходит через т.М₀ (x₀,y₀), то y₀=kx₀+b→b=y₀-kx₀ и искомое уравнение примет вид:

Это уравнение называют также уравнением пучка прямых с центром в т.М₀(x₀,y₀).

4) Уравнение прямой проходящей через две точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂)

Уравнение прямой, проходящей через M₁(x₁,y₁), имеет вид где k-пока неизвестный коэффициент, но так как прямая проходит и через M₂(x₂,y₂), то

тогда и

(1) или -искомое уравнение.

5) Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ox в точке M₁( ,0),а ось Oy в т.M₂(0,b) в этом случае уравнение (1) примет вид:

- это и есть уравнение прямой в отрезках.

6) Полярное уравнение прямой

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить указав расстояние P от полюса О до данной прямой и угол между полярной осью OP и осью l проходящей через полюс O данной прямой. Для любой точки M(r;φ) на данной прямой имеем:

,(Рис.3.) с другой стороны , отсюда, - это и есть уравнение прямой в полярных координатах.

7) Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая определяется заданием p и α (рис.4). Уравнение прямой в полярных координатах можно записать в виде:

,т.е.

Н

o

r M(r, )

90

Pис.3.

α

о, учитывая связь полярных и прямоугольных координат, имеем: . Следовательно, полученное уравнение можно записать в окончательном виде: (1) - это нормальное уравнение прямой.

Можно показать, как привести уравнение прямой к виду (1). Для этого умножим уравнение прямой на некоторый множитель λ≠0. . Сопоставляя с (1) получим: y

и

Из первых равенств можно найти λ

α

O Рис.4.

x

Нормирующий множитель λ согласно третьему равенству должен всегда иметь знак противоположный знаку свободного члена С.