8. Комплексные числа
1) Основные понятия
Комплексным числом Z называется выражение вида z=x+yi, где x, y- действительные числа, а i- мнимая единица i2=-1.
Если x=0, то число 0+iy=iy- называется чисто мнимым, если y=0, то x+i0=x- действительной число. Число x- называется действительной частью комплексного числа Z и обозначается x=ReZ, а y- мнимой частью Z, y=ImZ. Два комплексных числа Z1=x1+iy1 и Z2=x2+iy2 называют равными (Z1=Z2), тогда и только тогда, когда равны их действительные (x1=x2) и мнимые (y1=y2) части. В частности комплексное число Z=x+iy=0, когда x=y=0. Понятие > и < для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа Z=x+iy и Z= x-iy называются сопряженными, если отличаются лишь знаком мнимой части.
2) Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число Z=x+iy можно изобразить точкой M(x,y) на плоскости Oxy такой, что x=Rex, а y=JmY. И, наоборот, каждую точку M(x,y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа Z=x+iy (рис.1).
П
М(x,y)
y
x
лоскость,
на которой изображаются комплексные
числа, называются комплексной
плоскостью. Ось абсцисс –
называется действительной осью.
Oy – мнимой,
на ней лежат чисто мнимые числа (Z=iy).
Комплексное число Z=x+iy
можно задать с помощью радиуса вектора
r=OM=(x,y).
Длина вектора r
изображающего комплексное число Z,
называется модулем этого числа и
обозначается |Z| или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа (ArgZ или φ). Аргумент комплексного числа Z=0 не определен. Аргумент комплексного числа Z≠0- величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого:
Рис.1.
ArgZ=argZ+2πk, где argZ- главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π,π], т.е.
-π< argZ<π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0,2π]).
3) Формы записи комплексных чисел.
Запись числа Z в виде Z=x+iy – называют алгебраической формой комплексного числа.
Модуль r и аргумент φ
комплексного числа можно рассматривать
как полярные координаты вектора
,
изображающего комплексное число Z=x+yi
(рис.1). Тогда получаем x=rCosφ,
а y=rSinφ.
Следовательно, комплексное число Z=x+iy
можно записать в виде Z=rCosφ
+irSinφ или Z=r(Cosφ
+iSinφ) – такая форма записи
комплексного числа называется
тригонометрической формой.
Модуль r = |Z| однозначно определяется по формуле:
Аргумент φ определяется из формул
;
Так как
то
Sin
Поэтому, при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать φ=argZ. Так как -π<argZ≤π, то из формулы получаем, что
argZ=
Если точка Z лежит на действительной или мнимой оси, то argZ можно найти непосредственно. Например: argZ1=0 для Z1=2, argZ2=π, для Z=-3; argZ3=π∕2 для Z3=i, и argZ4=-π∕2,для Z4=-8i.
Используя формулу Эйлера
eiφ
=
, комплексное число Z=
можно записать в так называемой показательной или экспоненциальной форме
Z=reiφ , где r=|Z|- модуль комплексного числа, а угол φ=ArgZ=argZ+2kπ, (k=0,-1,1,-2,2….)
В силу формулы Эйлера, функция еiφ - периодическая, с основным периодом 2π. Для записи комплексного числа Z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать φ=argZ.
Пример: записать Z=-1+i в тригонометрической и показательной формах
r=
;argZ=arctg
;т.е.
Поэтому, Z=-1+i =
i3/4π
4) Действия над комплексными числами
1. Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел Z1=x1+y1i; Z2=x2+iy2 называют комплексное число Z, определяемое равенством Z1+Z2=(x1+x2)+i(y1+y2). Cложение комплексных чисел обладает переместительным(коммукативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами
Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).
И
Z2
Z=Z1+Z2
з
определения следует, что геометрические
комплексные числа складываются как
векторы (рис.2))
y
Н
Z1
епосредственно
из рис.2, видно, что
x
-это соотношение называется неравенством
треугольника.
Рис.2
2.Вычитание комплексных чисел
Разность двух комплексных чисел Z1 и Z2 называется такое комплексное число Z, которое, будучи сложенным с Z2 , дает число Z1, т.е. Z=Z1-Z2 , если Z+Z2=Z1 .
Если Z1=x1+iy1 , Z2=x2+iy2 , то из этого определения легко получить Z:
Z=Z1-Z2=(x1-x2)+i(y1-y2)
Из этого равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы рис.3
Н
Z1
Z2
Z=Z1-Z2
x
y
.
Отметим,что
,
т.е. модуль разности двух комплексных
чисел равен расстоянию d
между точками изображающие эти числа
на плоскости. Поэтому, например, равенство
определяет на комплексной плоскости
множество точек Z,
находящихся на расстоянии 1 от точки
Z0 =2i,
т.е. окружность с центром в Z0=2i
и радиусом 1.
Рис.3
3.Умножение комплексных чисел
Произведение комплексных чисел Z1=x1+y1i и Z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:
(1)
Отсюда, в частности, следует, что (i)2=-1. Действительно,
i2 =ii=
.
Благодаря этому соотношению формула
(1) получается формально путем перемножения
двучленов ( x1+iy1)
и( x2+iy2)
.
Например, (2-3i)(-5+4i)=-10+8i+15i+12=2+23i.
Заметим, что
=(x+iy)(x-iy)=x2+y2
- действительное число. Умножение
комплексных чисел обладает переместительным,
сочетательным и распределительным
свойствами:
Z1Z2=Z2Z1; (Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3); Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3
В этом легко убедиться, используя определение для произведения комплексных чисел.
Найдем произведение комплексных чисел
и
,
записанных в тригонометрической форме:
Z1Z2=
=
= r1r2
Т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n-множителей и все они одинаковы, то
xn=
rn
Это соотношение называется формулой Муавра.
Пример: найти
Запишем число Z=
в тригонометрической форме
и
По формуле Муавра z9=29
29
4. Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие,
обратное умножению. Частным двух
комплексных чисел Z1
и Z2≠0 называется
комплексное число Z,
которое, будучи умноженным на Z2,
дает число Z1, т.е.
,
если Z2Z=Z1
. Если положить Z1=x1+iy1
и Z2=x2+iy2
≠0, Z=x+iy,
то из равенства (x2+iy2)(x+iy)=(x1+iy1)
следует:
решая систему найдем x и
y : x=
;
y=
таким образом, Z=
На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю (избавляясь от мнимости в знаменателе).
Пример: разделить
Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид:
=
При делении комплексных чисел их модули соответственно делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.
5. Извлечение корней из комплексных чисел
Извлечение корней n-ой степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.
Корнем n-ой степени из
комплексного числа Z
называется комплексное число w,
удовлетворяющее равенству wn=Z,
т.е
=w. Если положить
,а
,
то по определению корня и формуле Муавра, получаем
wn=pn
отсюда pn=r
и nQ=
,
k=0,-1,1,-2,2…., т.е.
Q=
и
p=
,
поэтому
примет вид
=
,
к=0,1,…,n-1.
Получим n различных значений корня. При других значениях k в силу периодичности Sin и Cos, получаются значения корней, совпадающие с уже найденными. Так при k=n имеем:
Итак, для любого Z≠0 корень n-ой степени имеет ровно n различных значений.
Пример: найдем значение w=
Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме
i=
;
тогда
,k=0,1,2
a) при k=0
имеем w0=
б) при k=1 имеем w1=
в) при k=2 ,
