6. Предел функции
1) Предел функции в точке
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, самой точки.
Число A называется
пределом функции в
точке x0(или при x→
x0 ), если для любого
положительного
-
существует число
>0,
такое что для всех x≠x0
, удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
,
Записывается это определение
Это определение означает, что функция
f(x) имеет
предел в точке x0 ,
если для любой
-
окрестности точки A можно
найти такую
-окрестность
x0 , что, как только
значение аргумента попадет в эту
-окрестность, соответствующее значение
функции f(x)
,будет находиться в
-
окрестностях точки A. При
этом по любому
>0
число
>0
определяется по функции f
(рис.1)
а
y
Ч
A+
x0
X0+
X0-
A
A-
y=f(x)
x
E
исло
A1(A2)
называется правым (левым) пределом
функции в точке x0
, если для любого
>0
существует такое
>0,
что для всех x из правой
(левой)
-
окрестности точки x0
т.е.
,
выполняется неравенство
;
.
Записывается
,или
.
Рис.1 или f(x0-0)=A2
Пределы функции справа и слева называются
односторонним пределами.
Очевидно, если существует
,
то существует и оба односторонних
предела причем A1=A2=A.
справедливо и обратное утверждение
если существуют оба предела
и
они равны то существует
и
.
Если же A1 ≠A2,
то
не существует.
2) Предел функции при X→∞.
A+
Пусть y=f(x)
определена в промежутке (−∞;∞). Число
A называется пределом
функции f(x)
при x→∞, если для любого
>0
существует такое число M,
что при всех |x|>M
справедливо неравенство
.
Этот предел записывается
.
A-
A
M
Геометрический
смысл – соответствующие значения
функции f(x)
попадают в
– окрестности точки A,
т.е. точки графика лежат в полосе шириной
2
ограниченной прямыми y=A-
и y=A+
(Рис.2).
Рис.2.
3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
Функция y=f(x)
называется бесконечно большой
величиной при x→
x0 , если для любого
числа M>0 существует
число
=
(M)>0, такое что для всех
x, удовлетворяющих условию
|x- x0|<
,
будет верно неравенство |f(x)|>M.
Записывается
или
.
Свойства бесконечно больших функций:
Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличается от 0, есть величина бесконечно большая;
Сумма б.б.в. и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;
Частное от деления (б.б.в.) на функцию имеющую предел есть (б.б.в.)
4) Бесконечно малые функции.
Функция y=f(x)
называется бесконечно малой при x→
x0 , если
По определению предела функции это означает: для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех x удовлетворяющих |x-x0|< будет верно |f(x)| < . Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами и обозначаются обычно греческими буквами α,β и т.д.
Примеры: y=x2 при x→0, y=x-2 при x→ 2
1. Свойства бесконечно малой функции:
1. Алгебраическая сумма б.м.функций есть тоже б.м.функция.
Доказательство:
Пусть α(x)
и β(x)
две б.м.ф. при x→x0.
Это значит, что
,
т.е. для любого
>0,
а значит, и
найдется число
такое,
что для всех x,
удовлетворяющих
| x-x0|<
выполняется |
(x)| <
.
Тоже будет и для
при | x-x0|<
и
.
Пусть
-
наименьшее из чисел
и
тогда для всех x,
удовлетворяющих
|x-x0|<
,
выполняются оба неравенства и, складывая
их, получим:
.
Это означает, что
т.е.
– б.м.в. при x →x0.
Остальные свойства б.м.ф. приведем без доказательств.
2. Произведение двух б.м.ф. друг на друга есть функция бесконечно малая.
Следствие: произведение б.м.ф. на число есть б.м.ф.
3. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
4. Если функция f(x)
имеет предел равный A,
то ее можно представить как сумму числа
A и бесконечно
малой функции α(x),
т.е. если
, то
.
Доказательство: пусть
,
следовательно, для любого
>0
найдется
такое, что при
выполняется
т.е.
Это означает, что функция f(x)-A
имеет предел равный нулю, т.е. является
б.м.в., которую обозначим через
,т.е.
,
отсюда
.
Верна и обратная теорема, если
,
то
.
5) Основные теоремы о пределах.
1. Предел суммы(разность) двух функций равен сумме (разности) их пределов.
Доказательство: Пусть
Тогда по теореме 4 можно записать
и
,
т.е.
Здесь α(x)+β(x)-
б.м.ф. как сумма б.м.ф. По обратной теореме
4 можно записать
, т.е.
При разности доказательство аналогично.
Следствие 1. Функция может иметь только
один предел при x→
x0 . Пусть
и
Вычитая, получим
,
отсюда A-B=0,
т.е. A=B
2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
Доказательство: т.к.
а
то
и
Следовательно:
.
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
Теорема справедлива для любого конечного числа функций.
Следствие. Постоянный множитель
можно выносить за знак предела
.
Доказательство:
Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела
Доказательство:
3. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя если предел знаменателя ≠0.
Доказательство:
и
а
и
Тогда
Тогда
т.е.
