6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Экономика многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль является с одной стороны производителем, а с другой потребителем продукции выпускаемой другими отраслями. Возникает задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта задача была сформулирована Леонтьевым (американец русского происхождения) в годы экономической депрессии.

Рассмотрим п – отраслей, каждая из которых производит один вид продукции. Рассмотрим производства за определенный период времени (1 год).

Введем следующие обозначения:

x_i – общий объем продукции i – отросли

x_ij – объем продукции i – отрасли потребляемой j – отраслью при производстве объема продукции x_j

y_i – объем продукции i – отрасли предназначенный для реализации в непроизводственной сфере (так называемый продукт конечного потребления).

Балансовый принцип связи различных отраслей можно записать в виде:

, i=1,n

Это уравнение называется соотношением баланса. Введем так называемые коэффициенты прямых затрат:

,

Они показывают затраты продукции i – отросли на производство единицы продукции j – отросли.

Леонтьевым на основании изучения экономики США было установлено, что в течении достаточно длительного времени величина а_ij меняется крайне незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это означает наличие линейной зависимости материальных затрат от валового производства т.е.

,

Тогда уравнение соотношения баланса можно записать в виде системы уравнений.

Если обозначим:

X= , A= и Y=

Где Х – вектор валового продукта, Y – вектор конечного продукта, А – матрица затрат. тогда нашу систему можно записать в матричной форме: Х=АХ +Y и основная задача межотраслевого баланса будет состоять в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Последнее уравнение имеет следующую особенность. Все элементы матрицы А и векторов X и Y должны быть > 0. Это вытекает из особенностей прикладного характера рассматриваемой задачи.

Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А все элементы которой неотрицательны называется продуктивной если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения баланса причем все элементы вектора Х > 0. В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует математическая теория исследования и решения уравнения баланса. Не вдаваясь в подробности, остановимся на некоторых основных моментах.

Теорема. Если для матрицы А с положительными элементами и вектора Y с положительными компонентами уравнение баланса имеет решение Х с положительными компонентами, то А – продуктивна. Иными словами достаточно установить наличие положительного решения уравнения баланса хотя бы для одного значения вектора Y, чтобы матрица А была продуктивна. Перепишем уравнение баланса с использованием единичной матрицы в виде:

Если существует обратная матрица (Е –А)^-1, то существует и единственное решение этого уравнения.

(1)

Матрица (Е –А)^-1 – называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что А продуктивна, если сумма её элементов по любому её столбцу (строк) не превосходит единицы:

и существует номер j, что

Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S = (Е –А)^-1, для чего зададимся единичными векторами конечного продукта Y₁(1,0,0,0…0), Y₂(0,1…0),..Y_n(0,…1) тогда по (1) соответствующие вектора валового продукта будут:

, ,

С ледовательно, каждый элемент S_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отросли Y_j = 1 (j = 1,n).