- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что
, (1).
Это равенство означает, что вектор , подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ¸ в результате появляется коллинеарный самому себе вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие операторов на которые переводит их в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, то преобразование линейной алгебры значительно упростятся. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным.
Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме :
Преобразуем это уравнение: или
Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:
Для существования ненулевых решений ранг матрицы должен быть меньше числа переменных r<n. В этом случае должно быть выполнено условие : (2).
Расписав это уравнение в развернутом виде , получим:
=0
Расписав определитель, получим уравнение n-ой степени относительно λ:
.
Это уравнение и уравнение (2) называются характеристическим уравнением оператора . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора, многочлен левой части уравнения (2) – характеристическим многочленом.
Решив характеристические уравнения, получаем собственные числа λ1 , λ2…λn. Для каждого найденного λi найдем ненулевые векторы ядра оператора - λi·E. Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λi. Другими словами необходимо решить однородную систему уравнений . Ее решение и даст всю совокупность собственных векторов отвечающих λi.
Независимость собственных векторов.
Теорема. Собственные векторы оператора, отвечающие различным собственным значениям λ1λ2…..λn линейно независимы. Важнейшее следствие: определитель матрицы не зависит от выбора базиса.
Доказательство. Пусть - оператор в новом базисе, тогда
т.е. при переходе к новому базису собственные числа сохраняются. Наиболее простой вид принимает матрица P линейного оператора , имеющего n линейно независимых собственных векторов с собственными значениями λ1,λ2…λn .Векторы примем за базисные. Тогда разложение векторов по базису 1, 2... n как это следует из свойств линейных операторов, примет вид :
Отсюда следует, что если i=j и aij=0 если i ≠ j. Таким образом, в базисе составленном из собственных векторов, матрицы оператора будет иметь диагональный вид.
P= =
Верно и обратное если матрица P линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса- собственные векторы оператора .