- •Часть I Введение
- •I. Матрицы.
- •1. Основные понятия.
- •2. Действия над матрицами
- •2. Определители
- •1. Основные понятия
- •2. Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей):
- •3. Невырожденные матрицы
- •2. Ранг матрицы
- •II. Система линейных уравнений.
- •1. Основные понятия
- •2. Решение системы линейных уравнений
- •3. Решение не вырожденных линейных систем.
- •4. Метод Гаусса
- •5. Система однородных линейных уравнений
- •6.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •III. Элементы векторной алгебры
- •1. Основные понятия
- •2. Операции над векторами
- •3. Векторное пространство и п – мерный вектор
- •3.1. Линейная зависимость векторов
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.
- •3.4.Переход к новому базису.
- •3.5. Линейные операторы.
- •3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •2. Симметричный оператор.
- •3. Ортогональность собственных векторов.
- •3.7.Квадратичные формы.
- •IV Аналитическая геометрия на плоскости.
- •1.Система координат. Основные понятия.
- •Линия на плоскости(основные понятия)
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2) Общее уравнение прямой X
- •7) Нормальное уравнение прямой
- •8) Угол между двумя прямыми
- •9) Точка пересечения прямых
- •10) Расстояние от точки до прямой
- •3.Линии второго порядка на плоскости.
- •1) Окружность
- •2) Эллипс
- •3) Гипербола.
- •Исследование формы гиперболы по ее уравнению
- •Асимптоты гиперболы
- •4) Парабола
- •Исследование формы параболы по ее уравнению
- •5) Общее уравнение линий второго порядка
- •V Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •2.Поверхности второго порядка
- •VI. Основы математического анализа
- •1. Множества. Действительные числа
- •6. Предел функции
- •1) Предел функции в точке
- •2) Предел функции при X→∞.
- •3) Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.).
- •4) Бесконечно малые функции.
- •6) Признаки существования пределов.
- •7) Первый замечательный предел.
- •8. Комплексные числа
2.Поверхности второго порядка
1) Цилиндрические поверхности.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление, и пересекает каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая K- называется направляющей, а L – образующей цилиндра. Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а бразующие || координатной оси, то есть перпендикулярно этой плоскости. Пусть в Oxy лежит линия K, а ее уравнение F(x,y)=0. Построим цилиндр с образующими || оси Oz и направляющей K.
В
. M (x,y,z)
L
N
K
x
z
y
Рис.1.
Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M(x,y,z), так как оно не содержит Z. Так как M- любая точка цилиндра то уравнение F(x,y)=0, и будут уравнения цилиндра с образующими || оси Oz. В случае если образующая || оси Oy F(x,z)=0, если образующая || оси Ox; F(y,z)=0.
Название цилиндра определяется формой направляющей. Если направляющей служит эллипс, в плоскости Oxy, то цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром частный случай эллипса- окружность дает круговой цилиндр и т.д. все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, т.к. их уравнения есть уравнения второй степени.
2) Поверхности вращения. Конические поверхности.
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишут в виде :
(1)
O1(0,0,z1)
y
L
N
(0,y1,z1)
M
(x,y,z)
Рис.2.
а тогда или , кроме того Z1=Z .
Так как точка N лежит на кривой L , то ее координаты удовлетворяют уравнениям (1). Стало быть, F(y1,z1)=0,исключая вспомогательные координаты y1 и z1 придем к соотношению
- это искомое уравнение .
Это уравнение - поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки M этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на поверхности вращения.
Если кривая вращается вокруг других осей Ox и Oy, то уравнение будет носить аналогичный характер соответственно и . Так , например, вращая прямую y=z вокруг оси Oz получим поверхность вращения описываемую уравнением или - это конус второго порядка
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку p и пересекающими данную плоскую линию L( не проходящую через p) называются конической поверхностью или конусом. При этом L- направляющая конуса p- ее вершина, а прямая описывающая поверхность называется образующей.
Пусть направляющая L задана уравнениями:
L
В
M(x,y,z)
N(x1,y1,z1)
P(x0,y0,z0)
Рис.3.
А канонические уравнения образующих проходящих через т.P и т. N имеют вид.
Исключая из этих уравнений , и получим уравнение конической поверхности связывающее текущие координаты x, y и z.
Пример : составить уравнение конуса с вершиной в т.О(0,0,0).Если направляющая - эллипс
, лежащий в плоскости Z1=с.
Решение: Каноническое уравнение образующих, проходящих через т.О(0,0,0) и т.N(x1,y1,z1), полученную при пересечении образующей OM с эллипсом, будет учитывая, что Z1=с, получим: , откуда ; Подставляя значения x1 и y1 в уравнение эллипса, с учетом того, что N(x1,y1,z1) лежит на эллипсе, можно получить , подставляя сюда ранее полученное значения x1 и y1 получим или окончательно - это и есть уравнение конуса.
3) Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
По заданному уравнению поверхности второго порядка(те поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второго порядка) будем определять ее геометрическим вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями им параллельными.
а) Эллипсоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
Рассмотрим сечения поверхности описываемой этим уравнением с плоскостями || плоскости Oxy. Уравнения этих плоскостей Z=h, где h- любое число. Линия, получаемая в сечении, будет определяться двумя уравнениями:
(1)
Исследуем это уравнение.
а) Если |h|>c, c>0, то . Точек пересечения нашей поверхности с плоскостями Z=h не существует;
б) Если |h|<c , то уравнения (1) можно записать в виде: =1
т.е. линия пересечения есть эллипс с полуосями:
;
При этом, чем меньше |h|, тем больше полуоси 1 и b1 , при h=0 они достигают своих max значений 1= , b1=b. Уравнение примет вид:
с
z
c
x
y
b
Рис.4.
эллипсоида, если ≠ b≠ c, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две равны, то получается эллипсоид вращения. Если =b=c, то получим сферу - .
б) Однополостный гиперболоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
=1
Пересекая эту поверхность плоскостью Z=h, получим линию пересечения, уравнение которой имеет вид:
или
Как видно, этой линий является эллипс с полуосями:
и
П
h
Е
a1
a
b1
b
y
x
Рис.5.
Анализ сечений показывает, что поверхность, определяемая нашим уравнением, имеют форму бесконечно расширяемой трубки. Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом (рис.5.).
с) Двухполосной гиперболоид
Пусть поверхность задана уравнением:
Если эту поверхность пересечь плоскостью Z=h, получим линию пересечения, описываемую уравнениями:
Отсюда следует, что :
а) если |h|<c, то Z=h не пересекает поверхность;
б) если |h|=с, то плоскости Z=c касаются данной поверхности в точках (0,0,c) и (0,0,-c);
в) если |h|>c, то уравнения можно записать так:
- эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.
П
z
У
x
y
h
Рис.6.
д) Эллиптический параболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
где p>0, >0. Рассечем эту поверхность плоскостью Z=h. в сечении получим линию, уравнение которой есть
а
z
б ) если h=0, то Z=0 касается поверхности в т.O(0,0,0);
в
h
x
y
Рис.7.
его полуоси возрастают с ростом h.
При пересечении Oxz и Oyz получатся параболы:
и
Таким образом, поверхность будет иметь вид выпуклой бесконечно расширяющейся чаши- это эллиптический параболоид (рис.7.).
е) Гиперболический параболоид
Исследуем поверхность, определяемую уравнением:
где p>0, q>0. Рассечем эту поверхность плоскостями Z=h. Получим кривую, которая при h≠0 является гиперболой:
1) при h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox;
2) при h<0 параллельны оси OY:
3) при h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых: и .При пересечении поверхности плоскостями || плоскости Oxy, будут получаться параболы:
ветви которых направлены вверх. П
z
0
y
т.О(0,0,0) и осью симметрии Oz.
x
П
Рис.8.
ветви которых направлены вниз.
Анализ линий пересечения позволяет определить, что она имеет вид седла (рис.8.). Эта поверхность- гиперболический параболоид.