III. Элементы векторной алгебры

1. Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами являются: длинна, площадь объем, работа, масса.

Величины, которые определяются не только своим численным значением, но и направлением называются векторами, пример – скорость, сила.

Определение. Направленный отрезок, на котором задано начало, конец и направление называется вектором. Если А и В – начало и конец, то вектор можно обозначить или .

А B

Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной.

1. Векторы и называют коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.

2. Векторы и называют равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

В любой системе координат вектор можно охарактеризовать своими координатами =(x,y,z). Пусть в системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно А (x₁, y₁, z₁) и В (x₂, y₂, z₂). Тогда координаты этого вектора определяются формулой: x = x₂ - x₁, y = y₂-y₁, z = z₂-z₁.

Длина вектора – модуль вектора:

Нулевой вектор (000). Нулевой длины.

2. Операции над векторами

Пусть даны два вектора =(a₁,a₂,a₃) и =(b₁,b₂,b₃)

1. Сложение. Суммой векторов и называется третий вектор =(с₁,с₂,с₃) координаты которого равны сумме соответствующих координат a и b

c₁ =a₁+b₁, c₂=a₂+b₂, c₃=a₃+b₃ .

2. Произведение. Произведение вектора a ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор λ , координаты которого соответственно равны λa₁, λa₂, λa₃.

Можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда = + будет направлен от начала первого к концу второго (рис. 1).

Г

Рис.1

еометрический смысл умножения числа на вектор состоит в увеличении его длины в λ раз, при | λ| > 1 или сокращении в λ раз при | λ| < 1. При λ < 0 вектор λ имеет направление противоположное вектору . Вектора λ и коллинеарны.

3. Вычитание.

Под разностью векторов и _{понимается вектор такой, что .}

Рис.2

Через координаты разность векторов и будет равна вектору , причем ; ; .

Т.е.

4. Основные свойства линейных операций.

1. + = +

2.( + )+ = +( + )

3. λ ·( α · )=(λ· )·α

4.(α+λ)· =α· +λ·

5.λ·( + )=λ· +λ·

Пусть даны два вектора =(a₁,a₂,a₃) и =(b₁,b₂,b₃) из определений коллинеарности и произведения вектора на число следует, что a и b коллинеарны в том и только в том случае если их координаты пропорциональны

- условие коллинеарности векторов

5. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называют число равное

· = · ·cosα (1), где  - угол между и . Скалярное произведение можно выразить через их координаты следующим образом:

пусть даны =(a₁,а₂,а₃) и =(b₁,b₂,b₃).Тогда, · (2)

(все смешанные произведения = 0) .Сопоставляя (1) и (2) получим:

;

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1). · = · ;

2). ( ·λ)· =( · )·λ

3). ·( + )= +

4). =| |²

5). · =0 если вектор перпендикулярен вектору .

6. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на называется вектор с, который

а.) перпендикулярен векторам и т.е. _┴ и _┴ .

b .) имеет длину численно равную площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах (рис.2), т.е. |с| = |а|·|b|·sinφ, где φ=(a^b).

с.) Векторы и должны образовывать правую тройку (три вектора образуют правую тройку векторов, если с конца третьего вектора с кротчайший поворот от первого а, ко второму b, виден совершающимся против часовой стрелки, и левую если по часовой).

Векторное произведение обозначается × = или [ ]=

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1 . × = −( × )

2

φ

. λ( × )=(λ )× = ×(λ )

3

Рис. 3

. || только тогда, когда × =

4

. ( + )× = × + ×

Векторное произведение можно выразить через координаты:

× = =

=

Где , , – единичные орты, направленные вдоль осей координат

Это легко доказывается (делать этого не будем).

7. Смешанное произведение векторов.

(

a

× )· - пример смешанного произведения векторов. Здесь умножается на векторно, а затем результат на скалярно. Это пример смешанного произведения трех векторов.

Для того, чтобы понять смысл этого произведения построим параллелепипед ребрами которого являются , , и , а вектор

= × . (рис. 4)

Рис. 4

Имеем ,

Где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а – высота параллелепипеда, тогда .Знак «+» если эти вектора образуют правую тройку и знак «–» если левую, где - объем параллелепипеда.

Свойства смешанного произведения:

1)

2)

3)

4)(axb)c=-(bxa)c и т.д.

Выражение смешанного произведения через координаты:

;

Без доказательства.