4. Метод Гаусса

(решение систем линейных уравнений)

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений:

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем все это поподробнее:

Прямой ход. Будем считать, что а₁₁ ≠ 0 (если а₁₁ = 0, то переставим строки так, чтобы первый элемент не был равен 0), после этого преобразуем систему исключив неизвестное х₁ во всех уравнениях, кроме первого. (для чего умножим обе части первого уравнения на ( ) и сложим полученное со вторым уравнением системы). Затем умножим обе части первого уравнения на ( ) и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс получим окончательно:

Здесь – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом исключим х₂ из всех уравнений системы кроме первого и второго и так далее. Продолжаем этот процесс пока возможно. Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появится нулевое уравнение т.е. равенство вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0 = b_i , а b_i ≠ 0, то это говорит о несовместимости системы.

Проведя все эти операции до конца, получим следующую систему уравнений:

где k < n, a_ii ≠ 0, i = 1к. Коэффициенты a_ii называются главными элементами системы.

Второй этап заключается в решении ступенчатой системы уравнений. Она, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений.

В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные (х_k+1 … x_n). Затем подставляем значение Х_k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x_k-1 через (х_k+1 … x_n), затем находим x_k-2 …х₁. Придавая свободным неизвестным (х_k+1 … x_n) произвольные значения получим бесчисленное множество решений системы.

Пример:

Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

~ ~ ~

Полученная матрица соответствует системе:

итого

5. Система однородных линейных уравнений

Пусть дана система однородных линейных уравнений:

Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(A) = r(Ā)), т.к. она имеет нулевое решение х₁=х₂=…х_п=0

При каких условиях однородная система имеет и ненулевое решение?

Теорема Для того. Чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ранг r её основной матрицы был меньше числа n неизвестных т.е. r<n.

Необходимость. Так как r не может превосходить размера матрицы, то очевидно r ≤ n. Пусть r = n. Тогда один из миноров размера п×п отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение , ∆_i=0, ∆≠0. Значит, других, кроме тривиальных решений нет. Итак если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность. Пусть r<n, но тогда, поскольку ранг системы меньше числа её неизвестных, эта система имеет бесконечно много решений, а значит и хотя бы одно нулевое решение, о чем говорилось выше (теорема 3) два следствия вытекают из этой теоремы.

Следствие 1 Если число уравнений однородной системы меньше числа её неизвестных, то система имеет нулевое решение.

Следствие 2 Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение, тогда и только тогда когда ∆=0.