. Оценка аннуитетов

Частный случай денежного потока, в котором денежные поступления в каждом периоде одина­ковы по величине, носит название аннуитета.

Если число равных временных интервалов ограни­чено, аннуитет называется срочным. В этом случае

С1=С2=...=Сn=А.

Для оценки будущей и настоящей стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов, заключающейся в равенстве денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.

Если в формулах настоящей и будущей стоимости денежного потока заменить на А и вынести этот множитель за знак суммы, то под знаком суммы останется сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Применив известную из алгебры формулу, можно получить следующие упрощенные формулы для оценки аннуитета:

(15)

(16)

(17)

(18)

Аннуитет называется бессрочным, если денеж­ные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет). В этом случае прямая задача (будущая стоимость) смысла не имеет. Что касает­ся обратной задачи (настоящая стоимость), то ее решение для аннуитетов постнумерандо и пре­нумерандо делается на основе следующих формул.

Настоящая стоимость бессрочного аннуитета определяется с использованием формулы для расчета суммы членов бесконечной геометрической прогрессии:

PV = A / r (19)

Эта формула служит для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В данном случае известен размер годовых по­ступлений; в качестве ставки дисконтирования r обычно прини­мают гарантированную процентную ставку (например, процент, предлагаемый государственным банком).

Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Во всех приведенных формулах оценивания ключевым параметром яв­ляется процентная ставка r, играющая роль либо ставки наращения, ли­бо ставки дисконтирования. Ее экономический смысл таков: r равна то­му относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Поскольку инвестиционные возможности различных инвесторов (аналитиков) не одинаковы, каж­дый из них закладывает в модель оценки свое значение ставки - отсюда появляется множественность стоимостных оценок на финансовом рын­ке, что и приводит к операциям купли/продажи финансовых активов. Ставку r можно представить состоящей из двух частей:

r = r_f+r_r,

где r_f - безрисковая ставка (например, ставка по долгосрочным государствен­ным облигациям);

r_r - надбавка за риск.

Отсюда видно, что значение ставки может варьировать даже у одно­го инвестора - если, по его мнению, два оцениваемых актива различа­ются рисковостью, значения ставки г, используемые для их оценки, бу­дут различными.

Или про аннуитет по другому

Еще одним видом финансовой операции, предполагающей ежегодный взнос денежных средств ради накопления определенной суммы в будущем, является операция аннуитета (англ. annuity - еже­годный платеж).

Пример. Предпринимателю предлагается сдать в аренду зе­мельный участок на три года, выбрав один из двух вариантов опла­ты аренды:

• 20 тыс. руб. в конце каждого года;

• 70 тыс. руб. в конце трехлетнего периода.

Какой вариант более предпочтительнее, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Если имеется возможность ежегодного получения аннуитета и инвестирование полученных сумм в банк под 20% годовых, то к кон­цу трехлетнего периода накопленная сумма составит 72,8 тыс. руб., т.е. выгоднее в данном случае первый вариант (табл. 6.4).

Расчет будущей стоимости аннуитета Таблица 1.1

Год	Время, в течение которого зарабаты­вается процентный доход,лет	Будущая стоимость годового вклада, тыс. руб.
1	2	20(1+0,2)2= 28,8
2	1	20(1+0,2)1= 24,0
3	0	20(1+0,2)0= 20,0
Итого будущая стоимость 72,8

Приведенную схему расчета можно изобразить в виде следующей формулы:

FVA_n = PMT_t x (1 + k)^n–1,

t = 1

где FVA_n — будущая стоимость аннуитета (англ. future valure of annuity);

PMT_t — платеж, осуществляемый в конце периода t (англ. payment);

k — уровень дохода;

n — число периодов, в течение которых получается доход.

Данную формулу можно упростить и представить в виде:

FVA_n = PMT x FVA_1n,k,

где FVA1_{n, k} — будущая стоимость аннуитета в 1 руб. в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне k, рассчитываемая по формуле:

FVA1_{n, k} = [(1 + k)ⁿ –1] / k.