5. Кинематика твердого тела

Всякое сложное движение твердого тела можно представить как результат наложения друг на друга двух простых типов движения: поступательного и вращательного.

Поступательное движение - это движение, когда прямая. проведенная через любые две точки тела, остается параллельной самой себе (рис 1.10).

A₁

A₁

1

2

2

1

A₂

A₂

A₁

0

1

2

A₂

Рис 1.10

Особенностью такого движения является то, что все точки твердого тела в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому при поступательном движении твердого тела достаточно описать движение только одной какой-либо точки тела.

Действительно, пусть в некоторый момент времени t положения двух произвольных точек тела 1 и 2 относительно точки отсчета О (рис 1.10) определяются радиус-векторами и . Тогда взаимное их расположение в теле описывается вектором . При этом

, (1.41)

а так как тело твердое, то . При поступательном движении прямая, проходящая через точки 1 и 2, перемещается параллельно самой себе. Поэтому направление вектора при движении тела не изменяется. Дифференцируя равенство (1.41) по времени с учетом постоянства , получим

, или .

Дифференцируя последние равенства еще раз по времени, получим равенство ускорений:

0

0^

0

0^

а б

Рис 1.11

, или .

Поскольку точки 1 и 2 выбраны произвольно, то особенность поступательного движения доказана.

Вращательное движение - это движение, когда все точки твердого тела движутся по окружностям. При этом центры этих окружностей лежат на одной прямой, которая называется осью вращения (рис 1.11). Ось вращения может пронизывать тело (рис 1.11, а) или находиться вне тела (рис 1.11, б).

Особенностью вращательного движения является то, что все точки тела в любой момент времени t имеют относительно оси вращения одинаковые угловые скорости и угловые ускорения.

Рис. 1.12

Описание вращательного движения с помощью угловых кинематических характеристик имеет громадное преимущество перед описанием с помощью линейных кинематических вели-

чин именно в силу указанной особенности вращательного движения.

Если известно кинематическое уравнение вращательного движения , то, зная радиус окружности, по которой вращается данная точка тела, с помощью (1.27), (1.30) и (1.32) можно легко определить ее линейные кинематические характеристики и .

Теперь можно показать, что произвольное движение твердого тела представимо в виде наложения поступательного и вращательного движений.

Покажем это для случая плоского движения твердого тела.

Рассмотрим два произвольных положения тела при сложном его движении (рис 1.12). Результирующее перемещение тела из положения в положение можно осуществить бесконечным множеством способов. Например, поступательно переместить из положения в положение , а затем повернуть вокруг оси на угол по часовой стрелке; или поступательно переместить из положения в положение , и повернуть на тот же угол  относительно оси .

Таким образом, элементарное перемещение какой-либо точки твердого тела за время dt можно представить в виде суммы

, (1.42)

где -одинаковое для всех точек тела перемещение при поступательном движении, а - перемещение при повороте на угол (может осуществляться относительно различных осей).

Из (1.42) следует, что

. (1.43)

Здесь -скорость поступательного движения, одинаковая для всех точек тела, а -линейная скорость точки при ее поворотах с угловой скоростью по окружности радиуса вокруг мгновенной оси. Отметим, что все точки тела имеют одинаковую угловую скорость . Таким образом,

. (1.44)

Выводы: Любое сложное движение твердого тела является результатом сложения поступательного и вращательного движений.

Контрольные вопросы.

1.13. Можно ли произвольное перемещение твердого тела представить как результат а) только одних поворотов? б) только одного поступательного перемещения?

14. Может ли быть поступательным такое движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям?