5.4. Следствия из преобразований Лоренца

В этом пункте будут рассмотрены некоторые наиболее впечатляющие физические эффекты, существование которых можно объяснить в рамках СТО.

5.4.1. Лоренцовское сокращение длины

Сущность эффекта заключается в следующем: продольные размеры тела, движущего относительно наблюдателя, оказываются меньше, чем для наблюдателя, относительно которого это тело покоится.

Напомним, что размеры какого-либо тела определяются как разность координат его крайних точек, которые должны быть измерены в данной системе отсчета в один и тот же момент времени.

z

Рис. 5.4

В качестве примера рассмотрим тонкий стержень, неподвижный относительно системы и расположенный вдоль оси (рис. 5.4).

Очевидно, что, поскольку стержень неподвижен относительно системы , то координаты его начала и конца с течением времени остаются неизменными, поэтому требование одновременности их измерения в этой системе отсчета несущественно.

Длина стержня

(5.9)

неподвижного относительно данной системы отсчета , называется собственной длиной.

В системе , относительно которой стержень движется со скоростью , его длина

(5.10)

причем координаты и должны быть измерены наблюдателем, находящимся в системе , одновременно, то есть .

Используя обратные преобразования Лоренца для координат концов неподвижного относительно системы стержня

получим

Окончательно, учтя (5.9) и (5.10), найдем, что

(5.11)

Таким образом, действительно, длина стержня , измеренная наблюдателем, относительно которого стержень движется, оказывается меньше длины неподвижного стержня .

Контрольные вопросы.

4. Покажите, что собственная длина является инвариантом относительно преобразований Лоренца.

5. Убедитесь, что поперечные размеры тела в различных инерциальных системах отсчета одинаковы.

5.4.2. Относительность промежутков времени

Оказывается, что длительность одного и того же явления, измеренного по неподвижным и движущимся относительно наблюдателя (явления) часам, различна. Это различие, естественно, наблюдается только при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме, то есть является релятивистским эффектом.

Для примера рассмотрим длительность горения обыкновенной стеариновой свечи. Пусть эта свеча неподвижна относительно системы , следовательно, за время ее горения от момента до момента

(5.12)

ее положение в системе отсчета не изменяется, то есть .

Промежуток времени , измеренный по часам, неподвижным относительно тела, участвующего в данном явлении, называется в релятивистской механике собственным временем. Поскольку промежуток времени в данном случае измеряется наблюдателем, находящимся в системе , по часам, неподвижным относительно и относительно свечи, то этот промежуток является собственным временем в данном примере.

Относительно системы свеча движется, поэтому начало горения и его окончание происходят в различных точках системы . Наблюдатель, находящийся в системе и измеряющий моменты и движущейся относительно него свечи по часам системы , определяет время ее горения как

(5.13)

Отметим еще раз, что - длительность явления (горения свечи), измерена движущимися часами.

Теперь из (5.5) следует, что

(5.14)

Поэтому

или окончательно,

(5.15)

Таким образом, для наблюдателя, находящегося в системе , относительно которого свеча движется, она горит дольше, чем для наблюдателя системы .

В более общей форме этот результат можно трактовать так: движущиеся часы идут медленнее , чем покоящиеся.

Кроме того, из (5.15) видно, что собственное время минимально.

Одним из наиболее убедительных экспериментальных подтверждений справедливости полученного результата являются опыты по регистрации космических лучей вблизи поверхности Земли. Известно, что в результате взаимодействия космических лучей с атмосферой Земли в ее верхних слоях образуются нестабильные частицы - мезоны (мю - мезоны), собственное время жизни которых, измеренное в экспериментах на ускорителях, составляет приблизительно с. За это время для наблюдателя, движущегося вместе с мезоном, мезон, двигаясь даже со скоростью света, смог бы пролететь расстояние всего около 600м. Однако, образуясь в верхних слоях атмосферы, мезоны регистрируются у поверхности Земли, т.е. за время жизни успевают пролететь км. Это непосредственно означает, что для наблюдателя, относительно которого мезон движется, его время жизни значительно больше, чем с, и позволяет ему пролететь от точки рождения до поверхности Земли.

Контрольные вопросы.

5.6. Покажите, что собственное время одинаково во всех инерциальных системах отсчета, то есть инвариантно относительно преобразований Лоренца.