1.3. Кинематика материальной точки
Как было уже указано выше, кинематика - раздел механики, изучающий механические формы движения без учета причин, вызывающих это движение. Поиск ответа на основной вопрос кинематики начнем с описания движения простейшей модели - материальной точки,
1.3.1. Система отсчета
Механическое движение как физическое понятие приобретает конкретный смысл при выполнении следующих двух требований:
а) необходимо указать, относительного какого тела (тела отсчета) перемещается объект, движение которого изучается;
б) важным является возможность сравнивать длительность рассматриваемого движения по сравнению с длительностью некоторого эталонного процесса (часов).
Первое из этих требований непосредственно связано с фундаментальным свойством природы: всякое движение относительно.
Для выполнения второго требования можно в качестве часов использовать любой периодический процесс, период которого принимают за единицу отсчета времени.
Например: период вращения Земли вокруг Солнца - 1 год; период вращения Земли вокруг собственной оси - 1 сутки и т.д.
Совокупность тела отсчета и часов, неподвижных относительно тела отсчета, называется системой отсчета.
Характер и вид движения существенным образом зависит от выбора системы отсчета.
Например: точка, лежащая на ободе колеса, катящегося по горизонтальной поверхности:
а) неподвижна относительно любой другой точки колеса;
б) вращается относительно оси колеса;
в) движется относительно горизонтальной поверхности по сложной кривой (по циклоиде).
Из этого примера ясно, какую важную роль играет удачный выбор системы отсчета для описания и понимания характера движения.
Выводы: Для описания движения рассматриваемого объекта необходима система отсчета (тело отсчета и часы). Так как всякое движение относительно, то его характер существенным образом зависит от выбора системы отсчета.
Контрольные вопросы.
1.1. Попытайтесь качественно изобразить вид траектории точки экватора Земли при движении Земли вокруг собственной оси; вокруг Солнца.
1.3.2. Радиус-вектор, вектор перемещения
Для описания движения материальной точки в каждый момент времени необходимо указать ее положение относительно выбранной системы отсчета. Для этого с телом отсчета связывают систему координат - способ, с помощью которого задают числа (координаты точки), полностью определяющие положение материальной точки относительно тела отсчета. Важнейшими системами координат являются прямоугольные декартовы системы координат (рис 1.1), в которых положение точки А однозначно определяется ее координатами x,y,z по отношению к началу координат О, связанному с телом отсчета.
Поскольку
тело отсчета и материальная точка
определяют в пространстве физически
выделенное направление OA,
то положение материальной точки в данной
системе координат (XYZ)
можно характеризовать одной векторной
величиной
- радиус-вектором.
Задать радиус-вектор положения
материальной точки А-означает указать:
на каком
0
Рис 1.7.
,
скреп-ленного с материальной точкой.
Из рисунка 1.7 видно, что
,
где
,
то есть
.
(1.26)
Этому
соотношению можно придать векторную
форму, если ввести вектор
-вектор
угла поворота, направ-ление которого
связано с направлением вращения
мате-риальной точки определенным
правилом.
Условились для опре-деления этой связи применять правило правого винта: вектор направлять по мгновенной оси вращения в ту сторону, куда будет двигаться винт с правой нарезкой, при вращении его головки в сторону вращения материальной точки (рис 1.7).
Теперь
.
(1.27)
Здесь и ниже скобками [] обозначено векторное произведение векторов.
Следует отметить, что из-за условности выбора направления угла поворота свойства этого вектора (и ему подобных) существенным образом отличаются от обычных векторов. Поэтому их называют псевдовекторами или аксиальными векторами.
В
частности последовательные бесконечно
малые повороты, характеризуемые векторами
и
,
при их сложении дают результирующий
поворот
,
равный
,
то
есть подчиняются обычному правилу
сложения векторов. Для поворотов,
характеризуемых конечными углами
и
,
их геометрическая сумма не равна
результирующему повороту
,
то есть
.
Более того, из наглядного примера, изображенного на рис 1.8, видно, что
.
Скорость
поворота характеризуется с помощью
понятия угловой скорости
в данный момент времени t
(мгновенной угловой скорости):
.
(1.28)
Вектор мгновенной угловой скорости ориентирован, так же как и , вдоль мгновенной оси вращения и связан правилом правого винта с направлением вращения в данный момент времени. Поэтому является аксиальным вектором (рис 1.9, а, б).При вращении вокруг неподвижной оси вектор направлен вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки изменяет свое направление вместе с изменением ориентации мгновенной оси.
Если в процессе вращения угловая скорость является функцией времени, то для характеристики быстроты изменения как по величине, так и по направлению, вводят угловое ускорение:
.
(1.29)
Направление
вектора
определяется направлением
в данный момент времени.
При вращении материальной точки вокруг неподвижной оси угловое ускорение направлено вдоль этой оси.
y
y
y
x
x
x
2
3
1
а
y
y
y
x
x
x
1
2
3
1
б
Рис. 1.8
R
0
а) б) Рис. 1.9.
При
этом
,
,
,
если
.
Выводы: При вращении материальной точки ее движение может описываться с помощью угловых кинематических величин: угла поворота , угловой скорости и углового ускорения , которые являются аксиальными векторами. При вращении вокруг неподвижной оси , и направлены вдоль этой оси. При вращении вокруг неподвижной точки и направлены вдоль мгновенной оси вращения, а сонаправлен с приращением в данный момент времени.
Контрольные вопросы.
1.9.
Каков смысл вектора
в соотношении (1.27), если ось вращения
изменяет с течением времени свою
ориентацию?
1.10. Охарактеризуйте вращательное движение материальной точки, соответствующее условиям:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
,
.