5.7. Релятивистская энергия

Рассмотрим ситуацию, когда на частицу действует некоторая сила , которая, очевидно, совершает над частицей при ее перемещении на работу

,

что приводит к эквивалентному приращению кинетической энергии частицы

.

Элементарную работу определим, используя (5.22):

.

Учтя, что , получим для приращения кинетической энергии

Преобразуем правую часть последнего равенства:

Для этого выполним дифференцирование дроби в правой части и учтем, что , после чего получим:

.

Интегрирование последнего равенства дает релятивистское выражение для кинетической энергии частицы

(5.23)

которое существенно отличается от классического. Однако, как и должно быть, в предельном случае соотношение (5.23) переходит в известное Действительно, разлагая в (5.23) дробь в ряд по малым степеням отношения и пренебрегая слагаемыми более высоких степеней, чем , получим

Нетрудно заметить, что в (5.23) определяющей является величина

(5.24)

которая называется полной релятивистской энергией частицы, а

(5.25)

- ее энергией покоя.

Выражению (5.23) с учетом (5.24) и (5.25) теперь можно придать другой вид:

. (5.26)

Здесь следует отметить очень важный факт, что приращение полной энергии частицы в виде

имеет более глубокий смысл, чем просто величина, определяющая кинетическую энергию релятивистской частицы. А. Эйнштейн обобщил это соотношение, предположив, что любое изменение массы материального объекта приводит к соответствующему изменению полной энергии этого объекта и наоборот:

. (5.27)

В этом смысле говорят об эквивалентности энергии и массы:

(5.28)

Формулы А. Эйнштейна (5.27) и (5.28) в равной степени выражают один из фундаментальных законов природы: закон взаимосвязи (эквивалентности) энергии и массы любой системы.

Отметим, что выражения (5.27) и (5.28) не учитывают потенциальную энергию системы, как целого, во внешних силовых полях.

Выводы:

1. Релятивистская кинетическая энергия частицы определяется приращением ее полной энергии (5.23), (5.26).

2. Полная энергия системы и ее масса связаны универсальной формулой а. Эйнштейна (5.28).

Контрольные вопросы.

10. Определите величину относительного возрастания массы воды при ее нагревании от до . Удельная теплоемкость воды Дж/кгК.

11. Оцените величину относительного возрастания массы метеорита при его падении из бесконечности на поверхность Земли.

12. Определите величину относительного возрастания массы при распаде ядра дейтерия на протон и нейтрон. Энергия связи ядра дейтерия а его масса покоя .

5.8. Связь релятивистской энергии и импульса частицы

Искомое соотношение не трудно получить, рассмотрев выражения для релятивистской энергии

и импульса частицы

Разделив второе равенство для на первое, получим искомое выражение в векторной форме

(5.30)

Если же из этих формул отключить скорость частицы (для этого формулу для нужно записать в скалярной форме), то после несложных преобразований будем иметь

(5.31)

Отметим, что формулы связи энергии и импульса частицы (5.30) и (5.31) равнозначны, так как получены из одних и тех же соотношений для и .

Из формул (5.30) и (5.31) еще раз вытекает тот факт, что двигаться со скоростью, равной скорости света в вакууме , могут только те частицы, у которых масса покоя тождественно равна нулю. Действительно, если , то из (5.30) имеем . То же самое соотношение может быть получено из (5.31) при .

Для любознательных читателей отметим здесь, что связь между полной энергией и импульсом частицы в форме (5.31) является инвариантом по отношению к преобразованиям энергии и импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Контрольные вопросы.

13. Покажите, что в нерелятивистском случае формула (5.31) переходит в

отличающуюся от классического выражения для кинетической энергии слагаемым .