Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
511722_F4A3E_burlyaev_v_v_chislennye_metody_v_p...doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
10.13 Mб
Скачать

8. Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения

Как известно, лишь небольшое число типов уравнений первого порядка допускает интегрирование в квадратурах. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Тем большее значение имеют численные методы, позволяющие получить приближенное решение одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть требуется найти приближенное решение уравнения

dY/dX = Y’ = f(X,Y),

удовлетворяющее начальному условию Y(X0) = Y0. Численное решение задачи состоит в вычислении таблицы приближенных значений Y1,Y2, ... , Yn решения уравнения Y(X) в точках Х12, .... ,Хn. Обычно, Xi = X0+ih, где i=1,2, ... ,n. Точки Хi называются узлами сетки, а величина h - шагом, причем 0<h<1.

8.1. Метод Эйлера.

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки Yi+1 = Y(Xi+1) требуется информация только о последней вычисленной точке Yi. Формула Эйлера вычисления любого Y такова

Yi+1 = Yi +hf(Xi,Yi), где i=0,1,2,...,n-1.

Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения Yi* при шаге h/2 оценивают так

max Yi * - Yiдля i=1,2,...,n .

Метод Эйлера называют методом первого порядка, поскольку его погрешность пропорциональна h и для вычисления новой точки решения функция f вычисляется лишь один раз.

Метод Эйлера можно усовершенствовать множеством различных способов. Из этих способов наиболее распространены два. Это так называемые исправленный и модифицированный методы Эйлера.

Обозначим К1 = f(Xi,Yi). Тогда оба метода описываются формулой

Yi+1 = Yi +hФ(Xi,Yi), где

Ф(Xi,Yi) = a1K1 + a2f(Xi+b1h, Yi+b2hK1).

Для исправленного метода a1= a2=0,5 и b1= b2=1.

Для модифицированного метода a1=0, a2=1 и b1= b2=0,5.

Это методы второго порядка, погрешность решения пропорциональна h2.

Пример 8.1.

Найти решение уравнения

Y’ = 0,25Y2 + X2

c начальным условием Y(0) = -1 на отрезке [0;0,5] с шагом 0,1. Точность решения принять Е=0,0001.

Откроем новый рабочий лист EXCEL. Отведем столбец А под значения Х. Учитывая правило двойного пересчета занесем в блок А3:А13 значения Х от 0 до 0,5 с шагом 0,05. Значения Y по методу Эйлера с шагом 0,05 и 0,1 будем вычислять в столбцах B и C, для оценки погрешности отведем столбец D. Проведем для сравнения здесь же решение этой задачи исправленным методом Эйлера. Столбцы E и F отведем под значения Yисп с шагом h и h/2, столбцы G и H - под значения коэффициента K1, столбцы I и J - под значения функции Фисп, столбец К - для оценки погрешности. В ячейки В3, С3, E3 и F3 внесем начальные значения Y=-1. Основные формулы в строках 3, 4 и 5 приведены в таблице

ячейка

формула

Строка 3

B3

-1

C3

-1

D3

=ABS(C3-B3)

E3

-1

F3

-1

G3

=0,25*E3^2+A3^2

H3

=0,25*F3^2+A3^2

I3

=0,5*G3+0,5*(0,25*(E3+0,05*G3)^2+(A3+0,05)^2)

J3

=0,5*H3+0,5*(0,25*(F3+0,1*H3)^2+(A3+0,1)^2)

K3

=ABS(F3-E3)

Строка 4

B4

=B3+0,05*(0,25*B3^2+A3^2)

E4

=E3+0,05*I3

Строка 5

C5

=C3+0,1*(0,25*C3^2+A3^2)

F5

=F3+0,1*J3

Формулы в остальных строках получаются копированием содержимого строк, указанных в таблице. Результаты вычислений EXCEL приведены ниже. Как видно из таблицы, расчеты методом Эйлера на порядок хуже, чем расчеты исправленным методом.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.