- •В.В.Бурляев численные методы в примерах на excel
- •1. Решение нелинейного уравнения с одним неизвестным.
- •1.1 Отделение корней.
- •1.2 Уточнение корней: метод итераций.
- •1.3 Уточнение корней: метод Ньютона.
- •1.4. Уточнение корней: метод бисекции ( деления отрезка пополам ).
- •1.5 Уточнение коней: подпрограмма excel “Подбор параметра”.
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •2.1. Матричный метод.
- •2.2. Метод приближенных вычислений.
- •2.3. Метод Гаусса – Зайделя.
- •3. Решение систем нелинейных уравнений.
- •3.1. Выбор начальных приближений.
- •3.2 Метод Ньютона.
- •3.3. Метод итераций.
- •4. Численные методы одномерной оптимизации.
- •4.1. Метод дихотомии.
- •4.2. Метод золотого сечения.
- •4.3. Встроенная подпрограмма excel “Поиск решения”.
- •5. Многомерные задачи оптимизации.
- •5.1. Безусловная оптимизация: метод покоординатного спуска.
- •5.2. Безусловная оптимизация: метод наискорейшего спуска.
- •5.3. Безусловная оптимизация: подпрограмма excel “Поиск решения”.
- •5.4. Условная оптимизация: метод штрафных функций.
- •5.5. Условная оптимизация: подпрограмма excel “Поиск решения”.
- •5.6. Условная оптимизация: линейное программирование.
- •6. Метод наименьших квадратов.
- •7. Вычисление определенных интегралов.
- •8. Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения
- •8.1. Метод Эйлера.
- •8.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
- •8.3. Метод прогноза и коррекции: метод Адамса.
- •9. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •9.1. Задача Коши.
- •9.2. Краевая задача: метод стрельбы.
- •9.3. Краевая задача: метод прогонки.
- •10. Численное решение уравнений с частными производными
8. Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения
Как известно, лишь небольшое число типов уравнений первого порядка допускает интегрирование в квадратурах. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Тем большее значение имеют численные методы, позволяющие получить приближенное решение одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Пусть требуется найти приближенное решение уравнения
dY/dX = Y’ = f(X,Y),
удовлетворяющее начальному условию Y(X0) = Y0. Численное решение задачи состоит в вычислении таблицы приближенных значений Y1,Y2, ... , Yn решения уравнения Y(X) в точках Х1,Х2, .... ,Хn. Обычно, Xi = X0+ih, где i=1,2, ... ,n. Точки Хi называются узлами сетки, а величина h - шагом, причем 0<h<1.
8.1. Метод Эйлера.
Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки Yi+1 = Y(Xi+1) требуется информация только о последней вычисленной точке Yi. Формула Эйлера вычисления любого Y такова
Yi+1 = Yi +hf(Xi,Yi), где i=0,1,2,...,n-1.
Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения Yi* при шаге h/2 оценивают так
max Yi * - Yiдля i=1,2,...,n .
Метод Эйлера называют методом первого порядка, поскольку его погрешность пропорциональна h и для вычисления новой точки решения функция f вычисляется лишь один раз.
Метод Эйлера можно усовершенствовать множеством различных способов. Из этих способов наиболее распространены два. Это так называемые исправленный и модифицированный методы Эйлера.
Обозначим К1 = f(Xi,Yi). Тогда оба метода описываются формулой
Yi+1 = Yi +hФ(Xi,Yi), где
Ф(Xi,Yi) = a1K1 + a2f(Xi+b1h, Yi+b2hK1).
Для исправленного метода a1= a2=0,5 и b1= b2=1.
Для модифицированного метода a1=0, a2=1 и b1= b2=0,5.
Это методы второго порядка, погрешность решения пропорциональна h2.
Пример 8.1.
Найти решение уравнения
Y’ = 0,25Y2 + X2
c начальным условием Y(0) = -1 на отрезке [0;0,5] с шагом 0,1. Точность решения принять Е=0,0001.
Откроем новый рабочий лист EXCEL. Отведем столбец А под значения Х. Учитывая правило двойного пересчета занесем в блок А3:А13 значения Х от 0 до 0,5 с шагом 0,05. Значения Y по методу Эйлера с шагом 0,05 и 0,1 будем вычислять в столбцах B и C, для оценки погрешности отведем столбец D. Проведем для сравнения здесь же решение этой задачи исправленным методом Эйлера. Столбцы E и F отведем под значения Yисп с шагом h и h/2, столбцы G и H - под значения коэффициента K1, столбцы I и J - под значения функции Фисп, столбец К - для оценки погрешности. В ячейки В3, С3, E3 и F3 внесем начальные значения Y=-1. Основные формулы в строках 3, 4 и 5 приведены в таблице
ячейка |
формула |
Строка 3 |
|
B3 |
-1 |
C3 |
-1 |
D3 |
=ABS(C3-B3) |
E3 |
-1 |
F3 |
-1 |
G3 |
=0,25*E3^2+A3^2 |
H3 |
=0,25*F3^2+A3^2 |
I3 |
=0,5*G3+0,5*(0,25*(E3+0,05*G3)^2+(A3+0,05)^2) |
J3 |
=0,5*H3+0,5*(0,25*(F3+0,1*H3)^2+(A3+0,1)^2) |
K3 |
=ABS(F3-E3) |
Строка 4 |
|
B4 |
=B3+0,05*(0,25*B3^2+A3^2) |
E4 |
=E3+0,05*I3 |
Строка 5 |
|
C5 |
=C3+0,1*(0,25*C3^2+A3^2) |
F5 |
=F3+0,1*J3 |
Формулы в остальных строках получаются копированием содержимого строк, указанных в таблице. Результаты вычислений EXCEL приведены ниже. Как видно из таблицы, расчеты методом Эйлера на порядок хуже, чем расчеты исправленным методом.