3.3. Метод итераций.

Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка

f₁(x₁,x₂) = 0

f₂(x₁,x₂) = 0

причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х₁₀ и х₂₀, а также Е - точность вычислений значений корней.

Для применения итераций исходная система приводится к виду

х₁ = g₁(x₁,x₂)

x₂ = g₂(x₁,x₂),

где функции g_i называются итерирующими. Алгоритм решения задается итерирующими формулами

х_1i+1 = g₁(x_1i,x_2i)

x_2i+1 = g₂(x_1i,x_2i),

где i -номер итерации, i = 0,1,2,... Для прекращения итераций вычисляются значения

p_1i+1 = х_1i+1 - x_1i

p_2i+1 = x_2i+1 - x_2i,

D=( p_1i²+p_2i²)^(1/2),

и D сравнивается с Е. Итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие D<=E. Чтобы процесс вычислений сходился к этому условию, нужно выполнение достаточного условия сходимости:

dg₁/dx₁ + dg₁/dx₂

dg₂/dx₁ + dg₂/dx₂.

Возможно также суммирование по столбцам.

Пример 3.3.

Решим систему из примера 3.1 методом итераций. Начальные приближения также возьмем из того же примера. Пусть Е = 0,00001. Выпишем формулы для итерирующих функций

g₁(x₁,x₂) = (x₁³ + x₂³ + 3)/6

g₂(x₁,x₂) = (x₁³ - x₂³ + 2)/6.

При изменении независимых переменных в пределах 0<= x₁<=1 и 0<= x₂<=1 достаточное условие сходимости выполняется, т.к.

dg₁/dx₁ + dg₁/dx₂x₁²)/2 + (x₂²)/2

dg₂/dx₁ + dg₂/dx₂x₁²)/2 + -(x₂²)/2.

Проведем вычисления на том же рабочем листе, что и в примере 4.2.

Отведем столбец А, начиная с 26 строки под значения х₁, столбец В под значения х₂, столбец С - под g₁, столбец D - под g₂, следующие три столбца под р₁,р₂ и D.

В строке 27 сформируем формулы для второй итерации, а затем скопируем их в блок А28:G32, с учетом изменений относительных адресов ячеек. В результате будем иметь заполненную таблицу

Как видно, процесс итераций сходится достаточно быстро.

4. Численные методы одномерной оптимизации.

Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом: найти значение независимой переменной Х, заданной на интервале[a,b], при котором некоторая целевая функция f(X) принимает минимальное значение. Если ставится задача нахождения максимума, например, функции g(X), то преобразованием f(X) = - g(X) она приводится к отысканию минимума f(X). Целевая функция f(X) должна быть задана в виде формулы. Если существует производная f’(X), то задача сводится к решению уравнения f’(X) = 0, например, методами, описанными в разделе 2.

Численные методы оптимизации используются тогда, когда целевая функция недифференцируема и, в общем случае, может быть не гладкой и даже непрерывной, т.е. может иметь разрывы первого рода по Дирихле.

Единственное условие, предъявляемое к целевой функции - она должна быть унимодальной на интервале [a,b], т.е. иметь на этом интервале только один минимум и не иметь ни максимумов, ни точек перегиба. Математически свойство унимодальности записывается так. Функция f(X) называется унимодальной на интервале [a,b], если на этом интервале существует такая точка Х*, что для значений Х

X₁<X₂<X*<X₃<X₄

выполняется условие

f(X₁)>f(X₂)>f(X*)<f(X₃)<f(X₄).

В этом определении очень важно, что все неравенства - строгие.

Процесс нахождения минимума унимодальной функции численными методами оптимизации, называемыми иногда методами поиска, состоит в последовательном сужении интервала [a,b] - начального интервала неопределенности - так, чтобы его длина достигала значения Е - заданной погрешности решения.

Алгоритм сужения интервала [a,b] называется стратегией поиска. Заметим, что если выбрать два любых значения Х₁ и Х₂ на интервале [a,b] и вычислить для них значения функции f(X₁) и f(X₂), то сравнивая эти значения по величине и используя свойство унимодальности, всегда можно сократить начальный интервал неопределенности, отбрасывая отрезок [a,X₁] или отрезок [X₂,b]. Таким образом, стратегии поиска отличаются правилами выбора значений Х₁ и Х₂ на интервале [a,b]. Далее будут рассмотрены три метода одномерной оптимизации.