Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВЫЧ_мат_ГЛАВНАЯ.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
2.6 Mб
Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Пусть требуется решить систему уравнений

(1)

Исключая сначала из второго и третьего уравнений, а затем из третьего уравнения, получаем

(2)

.

Таким образом осуществлен прямой ход в методе Гаусса.

В процессе обратного хода последовательно исключаются и из второго и первого уравнений. В результате получаем решение системы уравнений (1)

(3)

Пусть теперь дана система из n линейных уравнений с n неизвестными

(4)

… … … …

Разделив первое уравнение на , получим разрешающее уравнение

, (5)

где ,

Умножим разрешающее уравнение (5) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (4). Аналогично преобразуем остальные уравнения.

Система примет вид

(6)

… … …

,

где

j = 2,3,...,n

Затем, оставляя без изменения первое уравнение, повторяем процедуру к оставшейся системе из n - 1 одного уравнения и т.д.

В результате получаем

(7)

… … …

Прямой ход выполнен.

При выполнении обратного хода путем последовательного исключения неизвестных и т.д. из системы (7) , получаем решение задачи

(8)

В модифицированном методе Гаусса с выбором максимального элемента по столбцу в начале 1-го шага прямого хода среди коэффициентов i = 1,2,...,n при неизвестном x находят наибольший по модулю. Пусть это . После этого в исходной системе меняют местами 1-ое и J-ое уравнения. Далее выполняется описанный выше метод.

В начале второго шага ищется максимальный по модулю элемент среди коэффициентов i = 2,3,...,n. При необходимости вновь делают перестановку и т. д.

Модифицированный алгоритм Гаусса уменьшает погрешность вычислений.

Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента ( по столбцу) приведена на рис. 2.1

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(9)

Если все диагональные элементы , то систему (1) можно представить в приведенном виде

(10)

где

Введем обозначения

Тогда система (2) запишется в виде

(11)

В качестве начального приближения возьмем вектор  и подставим его в уравнение (11). Получим .Продолжая процесс, получим последовательности приближений:

- первое приближение

-второе приближение (12)

. . . . . . . . .

- (k+1)-ое приближение.

Если существует предел  последовательности векторов то, переходя к пределу в равенстве при , убеждаемся, что  является решением уравнения (11), т.е.

Достаточное условие сходимости итерационного процесса:

Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: , то уравнение (11) имеет единственное решение , к которому стремится последовательность итераций (12) при любом выборе начального приближения.

Под нормой матрицы понимают следующие выражения:

(m-норма) сумма модулей элементов строки

(l-норма) сумма модулей элементов столбца

(k-норма)

Пример: для матрицы

В расчетах полагают . Погрешности приближенного решения уравнения (11) на k-ом шаге оценивают неравенством

, (13)

где - норма вектора X

m-норма или кубическая норма

l-норма или октаэдрическая норма

Введем обозначения

Тогда система (2) запишется в виде

(11)

В качестве начального приближения возьмем вектор  и подставим его в уравнение (11). Получим .Продолжая процесс, получим последовательности приближений:

- первое приближение

-второе приближение (12)

. . . . . . . . .

- (k+1)-ое приближение.

Если существует предел  последовательности векторов то, переходя к пределу в равенстве при , убеждаемся, что  является решением уравнения (11), т.е.

Достаточное условие сходимости итерационного процесса:

Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: , то уравнение (11) имеет единственное решение , к которому стремится последовательность итераций (12) при любом выборе начального приближения.

Рис. 2.1 Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений

Под нормой матрицы понимают следующие выражения:

(m-норма) сумма модулей элементов строки

(l-норма) сумма модулей элементов столбца

(k-норма)

Пример: для матрицы

В расчетах полагают . Погрешности приближенного решения уравнения (11) на k-ом шаге оценивают неравенством

, (13)

где - норма вектора X

m-норма или кубическая норма

l-норма или октаэдрическая норма

k-норма или сферическая норма.

Из неравенства (13) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности .

Отклонение приближения от решения  по норме не будет превышать , если

(14)

Для вывода (14) достаточно рассмотреть равенства:

; ; ;

;

; и т.д.

Далее .

И учитывая, что , т.к. норма .

В неравенствах (13) и (14) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы.

Неравенство (14) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (14) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью .

(15)

Пример: Найти решение системы уравнений

методом итераций с точностью 10-2.

Решение: Приведем систему к виду (10)

Запишем последовательность итераций

(16)

Для приведенной матрицы достаточное условие ходимости выполняется по m-норме:

В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы .

Число итераций для достижения заданной точности определяем из неравенства (13) , которое запишем так:

, действительно:

.

; т.к. то ; .

Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (15) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (13) в виде:

.

Первое приближение:

Следовательно, дает значение корня ξ с погрешностью, не превышающей величины .

Далее последовательно находим:

;

Третья итерация:

;

Заданная точность достигается за 5 шагов. Точное решение .

Ниже приведена блок – схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций.

_

+

+

_

_

+

+

Рис2.2 Блок – схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций

+

_

_

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.