Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Пусть требуется решить систему уравнений
(1) 
Исключая
сначала
из второго и третьего уравнений, а затем
из третьего уравнения, получаем
(2)
.
Таким образом осуществлен прямой ход в методе Гаусса.
В
процессе обратного
хода последовательно
исключаются
и
из второго и первого уравнений. В
результате получаем решение системы
уравнений (1)
(3)
Пусть теперь дана система из n линейных уравнений с n неизвестными
(4)
… … … … …
Разделив
первое уравнение на
, получим разрешающее
уравнение
, (5)
где 
, 
Умножим
разрешающее уравнение (5) на
и вычтем полученное уравнение из второго
уравнения системы (4). Аналогично
преобразуем остальные уравнения.
Система примет вид
(6)
… … … …
,
где
j
= 2,3,...,n
Затем, оставляя без изменения первое уравнение, повторяем процедуру к оставшейся системе из n - 1 одного уравнения и т.д.
В результате получаем
(7)
… … … …
Прямой ход выполнен.
При
выполнении обратного
хода путем
последовательного исключения неизвестных
и т.д. из системы (7) , получаем решение
задачи
(8)
В
модифицированном
методе Гаусса с выбором максимального
элемента по столбцу
в начале 1-го шага прямого хода среди
коэффициентов
i
= 1,2,...,n
при неизвестном x
находят наибольший по модулю. Пусть это
.
После этого в исходной системе меняют
местами 1-ое и J-ое
уравнения. Далее выполняется описанный
выше метод.
В
начале второго шага ищется максимальный
по модулю элемент среди коэффициентов
i
= 2,3,...,n.
При необходимости вновь делают
перестановку и т. д.
Модифицированный алгоритм Гаусса уменьшает погрешность вычислений.
Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента ( по столбцу) приведена на рис. 2.1
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
(9)
Если
все диагональные элементы
,
то систему (1) можно представить в
приведенном
виде
(10)
где
Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
(11)
В
качестве начального приближения
возьмем вектор
и подставим его в уравнение (11). Получим
.Продолжая
процесс, получим последовательности
приближений:
-
первое приближение
-второе
приближение (12)
. . . . . . . . .
-
(k+1)-ое
приближение.
Если
существует предел
последовательности векторов
то, переходя к пределу в равенстве
при
,
убеждаемся, что
является решением уравнения (11), т.е.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса:
Теорема.
Если какая-нибудь норма матрицы А меньше
единицы:
,
то уравнение (11) имеет единственное
решение ,
к которому стремится последовательность
итераций (12) при любом выборе начального
приближения.
Под
нормой
матрицы
понимают
следующие выражения:
(m-норма)
сумма модулей элементов строки
(l-норма)
сумма модулей элементов столбца
(k-норма)
Пример:
для матрицы
В
расчетах полагают
.
Погрешности приближенного решения
уравнения (11) на k-ом
шаге оценивают неравенством
, (13)
где
-
норма вектора X
m-норма
или кубическая норма
l-норма
или октаэдрическая норма
Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
(11)
В качестве начального приближения возьмем вектор и подставим его в уравнение (11). Получим .Продолжая процесс, получим последовательности приближений:
- первое приближение
-второе приближение (12)
. . . . . . . . .
- (k+1)-ое приближение.
Если существует предел последовательности векторов то, переходя к пределу в равенстве при , убеждаемся, что является решением уравнения (11), т.е.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса:
Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: , то уравнение (11) имеет единственное решение , к которому стремится последовательность итераций (12) при любом выборе начального приближения.
Рис. 2.1 Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений
Под нормой матрицы понимают следующие выражения:
(m-норма) сумма модулей элементов строки
(l-норма) сумма модулей элементов столбца
(k-норма)
Пример: для матрицы
В расчетах полагают . Погрешности приближенного решения уравнения (11) на k-ом шаге оценивают неравенством
, (13)
где - норма вектора X
m-норма или кубическая норма
l-норма или октаэдрическая норма
k-норма
или сферическая норма.
Из неравенства (13) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности .
Отклонение приближения от решения по норме не будет превышать , если
(14)
Для вывода (14) достаточно рассмотреть равенства:
;
;
;
;
;
и т.д.
Далее
.
И
учитывая, что
,
т.к. норма
.
В неравенствах (13) и (14) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы.
Неравенство (14) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (14) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью .
(15)
Пример: Найти решение системы уравнений
методом итераций с точностью 10-2.
Решение: Приведем систему к виду (10)
Запишем последовательность итераций
(16)
Для
приведенной матрицы
достаточное условие ходимости выполняется
по m-норме:
В
качестве начального приближения возьмем
вектор-столбец свободных членов
приведенной
системы
.
Число
итераций для достижения заданной
точности
определяем из неравенства (13)
,
которое запишем так:
,
действительно: 
.
;
т.к.
то
; 
.
Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (15) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (13) в виде:
.
Первое приближение:
Следовательно,
дает
значение корня ξ с погрешностью, не
превышающей величины
.
Далее последовательно находим:
;
Третья итерация:
;
Заданная
точность достигается за 5 шагов. Точное
решение
.
Ниже приведена блок – схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций.
_
+
+
_
_
+
+
Рис2.2
Блок – схема алгоритма решения системы
линейных
алгебраических
уравнений методом итераций
+
_
_
