Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВЫЧ_мат_ГЛАВНАЯ.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
2.6 Mб
Скачать

Блок-схема программы построения кубического сплайна и построения полинома Лагранжа представлены на рис. 4.3 и рис. 4.4

Пусть отрезок [a,b] разбит на n равных частей и в точках xi (i=0,1,2,...,n; x0=a, хn=b) некоторая функция принимает значения yi. Для переменной x, принадлежащей части разбиения [xi-1 ,xi] (i=1,... ,n), определена функция (кубический многочлен)

Здесь - шаг разбиения отрезка.

Неизвестные mi определяются рекуррентными соотношениями

n0 = A; mn = В; mi = Limi+1 + Mi (i=n-1,n-2,...,0)

после предварительного вычисления вспомогательных величин Mi, Li

по рекуррентным формулам

L0 = 0, M0 = m0, Mi = Li(Mi-1bi) (i=1,2,...,n-1),

где

Величины А и В должны быть заданы. При построении кубичес­кого сплайна, интерполирующего дифференцируемую функцию y = f (x)

по системе точек, полагают A = f ' (a), S = f ' (b) (краевые условия I типа). Выбор необходимой формулы Si (x) для заданного значения переменной x определяется целым числом i:

В соот­ветствии c условиями задачи для рассмотренного примера в программах принято m0 = 1, mn = 0.

да

i = Цел.часть((х-а)/h) + 1 ; x0 = a + (i -1)h, x1 = x0 + h

m(0) = 1; m(n) = 0; l(0) = 0; h = (b-a)/n

bi = 3(yi+1- yi-1)/h; li = -1/(li-1 + 4); mi = li(mi-1 - bi)

mi =limi+1 + mi

нет

Рис 4.3 Блок-схема программы построения кубического сплайна

Блок – схема программы построения интерполяционного многочлена Лагранжа в комментариях не нуждается.

Рис.4.4 Блок - схема программы построения интерполяционного многочлена Лагранжа

Лабораторная работа 5 Методы интерполирования функций

Работа выполняется с использованием палитры программирования системы автоматизации математических вычислений Mathcad

Задание на работу. В таблице приведены ( в соответствии с вариантами заданий ) значения функций в пяти узлах (с шагом 0.01 ).

1. Найти значения многочлена Лагранжа , интерполирующего функцию f( x ) на заданном отрезке по системе трех равномерно расположенных узлов ( с шагом 0.02 ), в точках (x0 +x2) / 2; ( x2 + x4) / 2 т. е. в точках x1 ,x 3 . Полученные результаты сравнить с табличными значениями.

2. Найти значения полинома Ньютона , интерполирующего функцию f( x ) на заданном отрезке по системе трех равномерно расположенных узлов ( с шагом 0.02 ), в точках (x0 +x2) / 2; ( x2 + x4) / 2 т. е. в точках x1 ,x 3 . Полученные результаты сравнить с табличными значениями.

3. Построить кубический сплайн отрезке по системе трех равномерно расположенных узлов ( с шагом 0.02 ), в точках (x0 +x2) / 2; ( x2 + x4) / 2 т. е. в точках x1 ,x 3

4. Дать оценку точности интерполяции.

Варианты задания

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

X

e x

e - x

sh x

ch x

sin x

cos x

ln x

1

1.00

2.7183

0.3679

1.1752

1.5431

0.8415

0.5403

0.0000

2

.01

2.7456

0.3642

1.1907

1.5549

0.8468

0.5319

0.0100

3

.02

2.7732

0.3606

1.2063

1.5669

0.8521

0.5234

0.0198

4

.03

2.8011

0.3570

1.2220

1.5790

0.8573

0.5148

0.0296

5

.04

2.8292

0.3535

1.2379

1.5913

0.8624

0.5062

0.0392

Номер задания

8

9

10

11

12

13

14

X

e x

e - x

sh x

ch x

sin x

cos x

ln x

1

1.05

2.8577

0.3499

1.2539

1.6038

0.8674

0.4976

0.0488

2

.06

2.8864

0.3465

1.2700

1.6164

0.8724

0.4889

0.0583

3

.07

2.9154

0.3430

1.2862

1.6992

0.8772

0.4801

0.0677

4

.08

2.9447

0.3396

1.3025

1.6421

0.8820

0.4713

0.0770

5

.09

2.9743

0.3362

1.3190

1.6552

0.8866

0.4625

0.0862

Номер задания

15

16

17

18

19

20

21

X

e x

e - x

sh x

ch x

sin x

cos x

ln x

1

1.10

3.0042

0.3329

1.3356

1.6685

0.8912

0.4536

0.0953

2

.11

3.0344

0.3296

1.3524

1.6820

0.8957

0.4447

0.1044

3

.12

3.0649

0.3263

1.3693

1.6956

0.9001

0.4357

0.1133

4

.13

3.0957

0.3230

1.3863

1.7093

0.9044

0.4267

0.1222

5

.14

3.1268

0.3198

1.4035

1.7233

0.9086

0.4176

0.1310

Вспомогательные материалы

1. Пример выполнения работы ( пункт 1 )

Пусть задана функция y = sin x на интервале [ 1.15 , 1.19 ]

X

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

Y

0.9128

0.9168

0.9208

0.9426

0.9284

При задании с шагом 0.2 таблица примет вид:

X

1.15

1.17

1.19

Y

0.9128

0.9208

0.9284

Интерполяционный полином Лагранжа для трех узлов имеет вид

Вычислим по данной формуле значение в точке x = 1.16 . Имеем :

x(0) = 1.15 ; x(1) = 1.17 ; x(2) = 1.19; y(0) =0.9128 ; y(1) = 0.9208; y(2) = 0.9284

Подставляя данные в выражение для L(x), получаем

Полученное значение точно совпадает с табличным для x = 1.16.

Оценим погрешность интерполирования по формуле (2). Имеем n = 2.

f (n + 1) = -cos (x)

Максимальное значение косинуса не превосходит 1. Следовательно, М n +1 равно 1.

= 0.5 * 10 - 6.

Следовательно, результат интерполирования совпадает с точным значением функции до пяти знаков после запятой.

Разработка программы на Mathcadе трудностей не представляет.

  1. Пункт 2 задания выполняется аналогично.

  1. Пример Mathcad – программы для построения кубического сплайна приведен ниже.

Контрольные вопросы

1.Чему равно значение интерполяционного полинома в узловых точках ?

2. Какова максимальная степень многочлена Лагранжа ?

3. Какова максимальная степень многочлена Ньютона?

4. Как оценивается погрешность интерполяции?

5. В чем состоит различие сплайн – интерполирования от обычной интерполяции?

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.