Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВЫЧ_мат_ГЛАВНАЯ.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
2.6 Mб
Скачать

Формула трапеций

Если предположить, что функция f(х) на отрезке интегрирования [a, b] достаточно близка к линейной, то данную функцию можно заменить на каждом отрезке [xi-1,…,xi] ее линейной интерполяцией по точкам (xi-1 , уi-1) и (xi , уi), т. е. ломаной линией с вершинами в концах элементарных отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования( аппроксимация искомого интеграла множеством элементарных трапеций с высотой (b - a) и основаниями f(a) и f(b)).

. В результате получим кусочно-линейную функцию

, х Є [xi-1,…,xi], (i=1,2,…,n).

Здесь уi=f(xi).

Тогда формула трапеций будет иметь вид:

, (i=1,2,…,n) (2)

Иллюстрация метода приведена на рис. 5.2

Рис. 5.2 Иллюстрация метода трапеций

Формула Симпсона

- это формула парабол, которую можно получить при условии, что сплайн S(x), аппроксимирующий подынтегральную функцию f(x), представляет собой непрерывную функцию, составленную из примыкающих парабол. Пусть парабола на отрезке [xi-1,…,xi] проходит через точки (xi-1 , уi-1) , (xi-1/2 , уi-1/2) и (xi , уi). Используя построение интерполяционного многочлена Лагранжа второго порядка на данном отрезке получим сплайн:

х Є [xi-1,…,xi], (i=1,2,…,n).

Для дальнейших преобразований введем переменную t Є [0;1] с помощью равенства х = xi-1 +ht . Значениям t, равным 0, ½, 1 соответствуют значения х, равные xi-1 , xi-1/2 , xi . Выразим сплайн S(x) через новую переменную:

(i=1,2,…,n).

Учитывая, что имеем

И в результате приходим к квадратурной формуле парабол:

(3)

Приближенное значение интеграла, вычисленного по квадратурным формуле парабол, можно выразить через результаты вычислений по квадратурным формулам прямоугольников и трапеций:

Иллюстрация метода приведена на рис. 5.3

Рис. 5.3 Иллюстрация метода Симпсона

Оценка погрешности квадратурных формул

Рассмотрим интеграл по элементарному отрезку

где х0 Є [xi,xi+1]— некая опорная точка, тогда для приближенного значения интеграла верно

Коэффициенты ξ, η, ... зависят от производных f'(х0), f''(х0), ....

С другой стороны, любая из рассмотренных квадратурных формул представима в виде

Заменяя в этой формуле значения функций f в точках fi, fi + 1/2, fi + 1 ее разложением по формуле Тейлора, получим

где х0Є [xi,xi+1].

Сравнивая разложения для , легко заметить, что вместе с первым слагаемым совпадают и другие слагаемые до (m - 1) - го порядка, так что ξ = ξ1, η = η1, ...

Разность же несовпадающих слагаемых будет, очевидно, оценкой погрешности квадратурной формулы на интервале

,

где v — константа.

Если просуммировать локальные погрешности по всем интервалам [ xi, xi + 1 ], то получим оценку погрешности квадратурной формулы по всему отрезку [a, b]:

где h=(maxhi)/i на неравномерной сетке, или h= (b - a)/n на равномерной. Число m называется порядком точности квадратуры.

Если подынтегральная функция имеет непрерывную вторую производную, то оценка погрешности:

Для формулы прямоугольников

Для формулы трапеций

Если подынтегральная функция имеет непрерывную производную четвертого порядка, то справедлива такая погрешность формулы Симпсона:

Заметим, что при интегрировании степенной функции, степень которой не выше трех, квадратурная формула Симпсона дает точный результат.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.