Формула трапеций

Если предположить, что функция f(х) на отрезке интегрирования [a, b] достаточно близка к линейной, то данную функцию можно заменить на каждом отрезке [x_i-1,…,x_i] ее линейной интерполяцией по точкам (x_i-1 , у_i-1) и (x_i , у_i), т. е. ломаной линией с вершинами в концах элементарных отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования( аппроксимация искомого интеграла множеством элементарных трапеций с высотой (b - a) и основаниями f(a) и f(b)).

. В результате получим кусочно-линейную функцию

, х Є [x_i-1,…,x_i], (i=1,2,…,n).

Здесь у_i=f(x_i).

Тогда формула трапеций будет иметь вид:

, (i=1,2,…,n) (2)

Иллюстрация метода приведена на рис. 5.2

Рис. 5.2 Иллюстрация метода трапеций

Формула Симпсона

- это формула парабол, которую можно получить при условии, что сплайн S(x), аппроксимирующий подынтегральную функцию f(x), представляет собой непрерывную функцию, составленную из примыкающих парабол. Пусть парабола на отрезке [x_i-1,…,x_i] проходит через точки (x_i-1 , у_i-1) , (x_i-1/2 , у_i-1/2) и (x_i , у_i). Используя построение интерполяционного многочлена Лагранжа второго порядка на данном отрезке получим сплайн:

х Є [x_i-1,…,x_i], (i=1,2,…,n).

Для дальнейших преобразований введем переменную t Є [0;1] с помощью равенства х = x_i-1 +ht . Значениям t, равным 0, ½, 1 соответствуют значения х, равные x_i-1 , x_{i-1/2 ,} x_i . Выразим сплайн S(x) через новую переменную:

(i=1,2,…,n).

Учитывая, что имеем

И в результате приходим к квадратурной формуле парабол:

(3)

Приближенное значение интеграла, вычисленного по квадратурным формуле парабол, можно выразить через результаты вычислений по квадратурным формулам прямоугольников и трапеций:

Иллюстрация метода приведена на рис. 5.3

Рис. 5.3 Иллюстрация метода Симпсона

Оценка погрешности квадратурных формул

Рассмотрим интеграл по элементарному отрезку

где х₀ Є [x_i,x_i+1]— некая опорная точка, тогда для приближенного значения интеграла верно

Коэффициенты ξ, η, ... зависят от производных f'(х₀), f''(х₀), ....

С другой стороны, любая из рассмотренных квадратурных формул представима в виде

Заменяя в этой формуле значения функций f в точках f_i, f_{i + 1/2}, f_{i + 1} ее разложением по формуле Тейлора, получим

где х₀Є [x_i,x_i+1].

Сравнивая разложения для , легко заметить, что вместе с первым слагаемым совпадают и другие слагаемые до (m - 1) - го порядка, так что ξ = ξ₁, η = η₁, ...

Разность же несовпадающих слагаемых будет, очевидно, оценкой погрешности квадратурной формулы на интервале

,

где v — константа.

Если просуммировать локальные погрешности по всем интервалам [ x_i, x_{i + 1} ], то получим оценку погрешности квадратурной формулы по всему отрезку [a, b]:

где h=(maxh_i)/i на неравномерной сетке, или h= (b - a)/n на равномерной. Число m называется порядком точности квадратуры.

Если подынтегральная функция имеет непрерывную вторую производную, то оценка погрешности:

Для формулы прямоугольников

Для формулы трапеций

Если подынтегральная функция имеет непрерывную производную четвертого порядка, то справедлива такая погрешность формулы Симпсона:

Заметим, что при интегрировании степенной функции, степень которой не выше трех, квадратурная формула Симпсона дает точный результат.