- •Иркутского государственного технического университета
- •2202 “Автоматизированные системы обработки информации и управления ”
- •Раздел 1 Погрешности вычислений
- •Причины возникновения погрешностей
- •Лабораторная работа 1
- •Вспомогательные материалы
- •5.1 Разработка программы в MathCad
- •Раздел 2 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций
- •Лабораторная работа 2 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Вспомогательные материалы
- •Пример программы в MathCad
- •Лабораторная работа 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций
- •Раздел 3 Решение нелинейных уравнений
- •Итерационный метод решения нелинейных уравнений
- •Лабораторная работа 4 Решение нелинейных уравнений
- •Раздел 4
- •1. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •3. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона
- •4. Интерполяционная формула Лагранжа
- •6 Обратное интерполирование
- •Блок-схема программы построения кубического сплайна и построения полинома Лагранжа представлены на рис. 4.3 и рис. 4.4
- •Лабораторная работа 5 Методы интерполирования функций
- •Раздел 5
- •Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона - Котеса)
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Оценка погрешности квадратурных формул
- •Квадратурные формулы Гаусса
- •Блок-схемы решения задачи рассмотренными методами приведены на рис. 5.4 и 5.5.
- •Лабораторная работа 6 Методы численного интегрирования
- •Раздел 6 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Лабораторная работа 4 Решение нелинейных уравнений
Работа выполняется с использованием палитры программирования системы автоматизации математических вычислений Mathcad
Задание на работу :
1.Разработать программы нахождения корней нелинейного уравнения методом половинного деления и методом итераций.
2.Найти корень заданной функции с требуемой точностью (eps = 0.0001).
3. Сравнить количество итераций, требуемых для нахождения решения с заданной точностью тем и другим методом.
4. Задать линейную функцию, имеющую корень на том же самом интервале [a,b] и решить данное линейное уравнение. Сравнить число итераций в том и другом методе. Объяснить полученные результаты.
Варианты заданий.
1. x 4 - 3x -20 = 0 ( x > 0 ) 2. x 3 - 2x - 5 = 0 ( x > 0 )
3. x 3 + 3x + 5 = 0 4. x 4 + 5x -7 = 0 ( x > 0 )
5. x 3 - 12x - 5 = 0 ( x > 0 ) 6. x 3 - 2x 2 - 4x + 5 = 0 ( x < 0 )
7. x + e x = 0 8. x 5 - x - 2 = 0
9. x 3 - 10x + 5 = 0 ( x < 0 ) 10. 2 - lnx - x = 0
11. x 3 + 2x - 7 = 0 12. x 3 + x 2 - 11 = 0 ( x > 0 )
13. .x 4 -2x - 4 = 0 ( x > 0 ) 14. 2e x + x - 1 = 0
15. x 4 - 2x - 4 = 0 ( x < 0 ) 16. 2x 3 + x 2 - 4 = 0 ( x > 0 )
17. e x - x - 2 = 0 18. (1/2) e x - x - 1 = 0 ( x > 0 )
19. x 2 - cos x = 0 ( x > 0 ) 20. x 2 + lnx = 0
Требования к оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
название работы
цель работы
тексты программ
результаты , полученные в процессе выполнения работы
выводы
Вспомогательные материалы
Для разработки программ на Mathcadе можно использовать приемы, описанные в лабораторных работах №1 и №2.
Существует бесчисленное множество линейных функций, имеющих корень на интервале[a,b]. Поясним это на примере.
Пусть a = 2, b = 7. Пусть корень уравнения равен 5. Тогда функция
F(x) = k1 + k2*x, имеющая корень, равный пяти, может иметь такой вид
F(x) = 10 – 2*x (один из коэффициентов задается произвольно, другой находится из уравнения F(x) = 0).
Контрольные вопросы:
Зачем нужна процедура отделения корней?
Что называется корнем уравнения?
Какова точность метода половинного деления?
Каким образом исходное уравнение преобразуется к виду , удобному для итераций?
Чему равна оценка погрешности k -го приближения?
Раздел 4
Интерполирование функций
Краткое введение. Постановка задачи интерполирования.
На отрезке заданы n+1 точки , которые называются узлами интерполяции, и значение некоторой функции в этих точках
. (1)
Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и , т.е.
(2)
Рис. 4.1 Интерполирование функции y = f(x)
В общем случае, задача имеет бесчисленное множество решений.
Задача становится однозначной, если решение искать в заданном классе функций.
Будем искать полином степени не выше n и удовлетворяющий условию (2).
Полученную интерполяционную формулу используют для вычисления значений в точках (интервалах), отличных от узлов.
Если - имеет место задача интерполирования (интерполирование “в узком смысле”).
При решается задача экстраполирования.