Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ВЫЧ_мат_ГЛАВНАЯ.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
2.6 Mб
Скачать

1. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих узлов , где - шаг интерполяции.

Необходимо подобрать полином

(3)

Условия (1) эквивалентны тому, что

, при .

Следуя Ньютону, будем искать полином в виде

(4)

Т.о. задача сводится к определению коэффициентов в выражении (4).

Полагая , получим .

Далее находим первую конечную разность и полагая , получим

Откуда:

Беря затем вторые разности и т.д., получаем:

Введем в рассмотрение новую переменную

- число шагов, необходимых для достижения точки из точки

( ), получим

(5)

Это и есть первая интерполяционная формула Ньютона, которая применяется для интерполирования функций , в окрестности начального значения , где q мало по абсолютной величине!

Если в (5) положить n=1, то получим формулу линейного интерполирования

(6)

При n=2 – формулу параболического или квадратичного интерполирования.

Если дана неограниченная таблица , то n выбирают так, чтобы .

Если таблица конечна, то n не может превышать k-1, где k – число строк таблицы.

При применении 1-ой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей.

Пример: Построить на отрезке [3,5;3,7] интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей, с шагом h=0,05.

3,50

3,55

3,60

3,65

3,70

33,115

34,813

36,598

38,475

40,447

Решение: составляем таблицу разностей

3,50

3,55

3,60

3,65

3,70

33,115

34,813

36,598

38,475

40,447

1,698

1,785

1,877

1,972

0,087

0,092

0,095

0,005

0,003

Т.к. то n=3.

или

где

Можно упорядочить полином по степеням х, подставив значение q.

2. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Вывод формулы аналогичен выводу 1-ой интерполяционной формулы, только теперь коэффициент полинома (коэффициент ) определяется из равенств

(8)

Введем обозначение

Тогда

и так далее.

В результате получим:

(9)

Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:

Х

У

1000

1010

1020

1030

1040

1050

3,0000000

3,0043214

3,0086002

3,0128372

3,0170333

3,0211893

Найти lg1044

Решение: составляем таблицу конечных разностей

1000

1010

1020

1030

1040

1050

3,0000000

3,0043214

3,0086002

3,0128372

3,0170333

3,0211893

43214

42788

42370

41961

41560

-426

-418

-409

-401

8

9

8

Примем Тогда .

По формуле (3) получем:

В результате все знаки верные.

Т.о. первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад ( за границы интервала); Вторая формула – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Операция экстраполирования менее точна.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.