- •Иркутского государственного технического университета
- •2202 “Автоматизированные системы обработки информации и управления ”
- •Раздел 1 Погрешности вычислений
- •Причины возникновения погрешностей
- •Лабораторная работа 1
- •Вспомогательные материалы
- •5.1 Разработка программы в MathCad
- •Раздел 2 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций
- •Лабораторная работа 2 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Вспомогательные материалы
- •Пример программы в MathCad
- •Лабораторная работа 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций
- •Раздел 3 Решение нелинейных уравнений
- •Итерационный метод решения нелинейных уравнений
- •Лабораторная работа 4 Решение нелинейных уравнений
- •Раздел 4
- •1. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •3. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона
- •4. Интерполяционная формула Лагранжа
- •6 Обратное интерполирование
- •Блок-схема программы построения кубического сплайна и построения полинома Лагранжа представлены на рис. 4.3 и рис. 4.4
- •Лабораторная работа 5 Методы интерполирования функций
- •Раздел 5
- •Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона - Котеса)
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Оценка погрешности квадратурных формул
- •Квадратурные формулы Гаусса
- •Блок-схемы решения задачи рассмотренными методами приведены на рис. 5.4 и 5.5.
- •Лабораторная работа 6 Методы численного интегрирования
- •Раздел 6 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих узлов , где - шаг интерполяции.
Необходимо подобрать полином
(3)
Условия (1) эквивалентны тому, что
, при .
Следуя Ньютону, будем искать полином в виде
(4)
Т.о. задача сводится к определению коэффициентов в выражении (4).
Полагая , получим .
Далее находим первую конечную разность и полагая , получим
Откуда:
Беря затем вторые разности и т.д., получаем:
Введем в рассмотрение новую переменную
- число шагов, необходимых для достижения точки из точки
( ), получим
(5)
Это и есть первая интерполяционная формула Ньютона, которая применяется для интерполирования функций , в окрестности начального значения , где q мало по абсолютной величине!
Если в (5) положить n=1, то получим формулу линейного интерполирования
(6)
При n=2 – формулу параболического или квадратичного интерполирования.
Если дана неограниченная таблица , то n выбирают так, чтобы .
Если таблица конечна, то n не может превышать k-1, где k – число строк таблицы.
При применении 1-ой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей.
Пример: Построить на отрезке [3,5;3,7] интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей, с шагом h=0,05.
|
3,50 |
3,55 |
3,60 |
3,65 |
3,70 |
|
33,115 |
34,813 |
36,598 |
38,475 |
40,447 |
Решение: составляем таблицу разностей
|
|
|
|
|
3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 |
33,115 34,813 36,598 38,475 40,447 |
1,698 1,785 1,877 1,972 |
0,087 0,092 0,095 |
0,005 0,003
|
Т.к. то n=3.
или
где
Можно упорядочить полином по степеням х, подставив значение q.
2. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Вывод формулы аналогичен выводу 1-ой интерполяционной формулы, только теперь коэффициент полинома (коэффициент ) определяется из равенств
(8)
Введем обозначение
Тогда
и так далее.
В результате получим:
(9)
Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:
Х |
У |
1000 1010 1020 1030 1040 1050 |
3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 |
Найти lg1044
Решение: составляем таблицу конечных разностей
|
|
|
|
|
1000 1010 1020 1030 1040 1050 |
3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 |
43214 42788 42370 41961 41560 |
-426 -418 -409 -401 |
8 9 8 |
Примем Тогда .
По формуле (3) получем:
В результате все знаки верные.
Т.о. первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад ( за границы интервала); Вторая формула – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.
Операция экстраполирования менее точна.