9.2. Параллельное соединение конденсаторов

Рис. 13

При параллельном соединении все конденсаторы имеют постоянную разность потенциалов

₁  ₂ = сonst. Полный заряд батареи конденсаторов (рис. 1.31): q = q₁ + q₂ +...+ q_n

По определению емкость батареи конденсаторов ,

где .

Следовательно,

С = С₁ + С₂ + ... + С_n. (18)

12. Энергия и плотность энергии электрического поля. Энергия заряженного конденсатора.

Как известно из механики (см. ч. I, (6.2)), работа равна убыли потенциальной энергии:

в данном случае речь идет о потенциальной энергии правой пластины в поле левой.

С другой стороны, мы можем считать, что потенциальная энергия была запасена в электрическом поле. Так как поле исчезло из объема , значит, убыль потенциальной энергии следующим образом связана, в соответствии с (5.10), с напряженностью поля:

(5.11)

Введем понятие плотности энергии электрического поля w в соответствии со следующим определением:

^, (5.12)

где W – энергия электрического поля, запасенная в объеме V.

С учетом (5.11) из (5.12) для плотности энергии электрического поля в вакууме получим:

Если пространство, где создано электрическое поле напряженностью Е, заполнено диэлектриком, то в соответствии с выводом (4.7) из лекции 4, следует заменить на , тогда, для плотности энергии электрического поля в диэлектрике, имеем:

^. (5.13)

Если поле неоднородно, то тогда, зная плотность энергии поля в каждой точке, можно следующим образом найти энергию поля, заключенную в любом объеме V:

(5.14)

Энергия заряженного конденсатора

Энергию W заряженного конденсатора найдем, умножив w из (5.13) на объем конденсатора V = Sd. Выразив, в соответствии с (3.22), напряженность электрического поля Е через разность потенциалов (напряжение) U, получим:

С учетом формулы емкости плоского конденсатора (5.5) для энергии заряженного до напряжения U конденсатора емкостью С имеем следующее выражение:

(5.15)

Формула (5.15) верна для конденсаторов любой формы, хотя получили мы ее для частного случая плоского конденсатора.

13. Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной форме

Вычислим поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность. Первоначально будем считать, что поверхность – сфера, а в центре ее находится точечный заряд q. Напряженность электрического поля точечного заряда определяется выражением . Вектор нормали к сферической поверхности совпадает с направлением радиуса сферы, поэтому в данном случае поток равен:

Потоком вектора напряженности электрического поля называют интеграл по поверхности от скалярного произведения векторов и dS.

(1)

Элементарный поток вектора напряженности электростатического поля

, (2)

где Е_n  проекция вектора на нормаль .

Рис. 2.2

Ф = 0, если внутри замкнутой поверхности заряд q = 0.

теорема Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на – электрическую постоянную.

Таким образом, при V 0 в формуле (8) его левая часть стремится к diV, а правая  к .

Следовательно, . (10)

Формула (10) выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Запись формул и действия с ними упрощаются при введении векторного дифференциального оператора

, (11)

где  единичные векторы осей Х, У, Z соответственно.

Векторный дифференциальный оператор приобретает вполне определенный смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается, т. е. теорему Гаусса в дифференциальной форме

= (12)

Теорема Гаусса является локальной, т. е. дивергенция поля в заданной точке этого поля зависит только от объемной плотности электрического заряда.

14. Применение теоремы Гаусса. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости. Уравнения Пуассона и Лапласа Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Пусть бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда +.

Рис. 3

Из свойств симметрии заряженной плоскости следует, что вектор напряженности электрического поля, созданного этой плоскостью, всюду перпендикулярен ей.

В симметричных точках этого поля вектор равен по модулю и противоположен по направлению. В связи с этим в качестве замкнутой поверхности можно выбрать цилиндрическую (рис. 3). Полный поток вектора пронизывающий

Ф_е = 2ЕS.

Согласно теореме Гаусса

,

где . Таким образом, или , (13)

где Е_n  проекция вектора на нормаль (, рис. 3).

Если   0, то Е_n  0, т. е. вектор направлен от заряженной плоскости (линии напряженности начинаются на положительных зарядах).

Если   0, то Е_n  0, т. е. вектор форме направлен к заряженной плоскости (линии напряженности оканчиваются на отрицательных зарядах).

Согласно (13) напряженность электростатического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, не зависит от расстояния до нее, а поле является однородным справа и слева от плоскости.