27. Закон Био-Савара-Лапласа. Момент сил, действующий на контур с током. Работа перемещения контура с током в магнитном поле.

Рис. 6.21

При своем движении электрические заряды в проводах создает в окружающем пространстве магнитное поле. Магнитное поле создает не только ток проводимости, но и любой ток: ток в газах, ток смещения. Найдем индукцию магнитного поля, созданного элементом проводника с током (рис. 6.21). Для этого воспользуемся формулой магнитной индукции равномерно движущегося заряда. Введем объемную плотность заряда,

т. е. q = dV, где dV - элемент объема, тогда.

Плотность тока в элементе проводника j = n_oqv = (N=1).

Поэтому формулу (6.64) перепишем в виде . (6.65)

Если ток течет по проводу площадью поперечного сечения S,

то объемный элемент тока jdV равен линейному элементу тока , т. е. jdV = .

С учетом этого формула (6.65) принимает вид (6.66)или . (6.67)

Формулы (6.66) и (6.67) называют законом Био-Савара-Лапласа.

В общем случае расчет индукции магнитного поля тока, текущего в проводах произвольной формы, по формуле (6.66) довольно сложен. Если же распределение тока имеет некоторую симметрию, например, магнитное поле прямого и кругового токов, то расчет индукции магнитного поля значительно упрощается, если воспользоваться принципом суперпозиции магнитных полей, т. е. .

Момент сил, действующий на контур с током

Если контур с током (I = const) поместить в неоднородное внешнее магнитное поле, то на него будет действовать сила Ампера, т. е.

. (6.42)

В однородном магнитном поле результирующая сила Ампера, действующая на контур с током, равна нулю: . (6.43)

Рассмотрим плоский контур с током малых размеров (магнитный листок), который называют элементарным. Такой контур характеризуют вектором магнитного момента

Рис. 6.13

, (6.44)

где I  сила тока в витке; S  площадь витка ограниченного контуром L;  вектор нормали, направление которого связано с направлением тока в витке правилом правого винта (рис. 6.13).

По модулю р_m = IS. (6.45)

В СИ магнитный момент измеряется в амперах на метр в квадрате (Ам²).

Если контур не плоский, то

, (6.46)

где интеграл зависит только от выбора контура L, на который натянута поверхность S. Расчеты показывают, что эту силу можно записать в виде , (6.47)

где р_m  модуль магнитного момента контура;  частная производная вектора по направлению вектора нормали (по направлению вектора ).

Проекция силы, например, на направление оси Х . (6.48)

В однородном магнитном поле F = 0, так как = 0.

Результирующий момент сил Ампера, действующий на контур, запишем в виде (6.49) или в виде , где (6.50)

Рис. 6.14

Пара сил Ампера действует на стороны b контура; на стороны а контура действуют силы, стремящиеся только растянуть его, на рис. 6.14 они не показаны.

По модулю вращающий момент сил Ампера М = р_mВsin = ISBsin, (6.51)

где   угол между векторами и .

При  = 0^о, М = 0 ( ) положение контураустойчиво. При  = 180^о, М = 0 ( ) положение контура  неустойчиво. Если магнитное поле неоднородно и размеры контура малы, то влиянием неоднородности можно пренебречь.

Работа перемещения контура с током в магнитном поле

Рис. 6.15

На любой проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера.

В однородном магнитном поле работа, совершаемая силой Ампера (рис. 6.15),

А = Fx, где

F =  сила Ампера т. е. А = IB()x

Или А = IBS, где S =()x

или А = IФ_м, где Ф_м =BS.

В неоднородном магнитном поле элементарная работа dA, совершаемая силой Ампера при бесконечно малом перемещении элемента проводника с током ,

(6.52)

где ;

Рис. 6.16

 вектор малой площадки, возникающей при перемещении элемента проводника с током на малое перемещение ;  магнитный поток, пронизывающий эту площадку (рис. 6.16).

Следовательно, при перемещении проводника конечной длины , по которому течет ток, в переменном магнитном поле, из состояния 1 в 2 совершается работа

. (6.53)