7.Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Связь между напряжённостью электростатического поля и потенциалом.

^, (3.14)

кружок у знака интеграла в (3.14) обозначает, что интеграл берется по замкнутому контуру. Интеграл вида (3.14) по замкнутому контуру называют циркуляцией вектора . Следовательно, циркуляция вектора электростатического поля, вычисленная по любому замкнутому контуру, равна нулю. Это общее свойство всех полей консервативных сил (потенциальных полей).

(3.17)

Если ввести следующее обозначение: то формула (3.17) запишется в компактном виде: (3.19)

Введенный нами математический объект называется оператором градиента и формула (3.19) читается так: «вектор равен минус градиент ».

8.Эквипотенциальные поверхности, их связь с силовыми линиями.

Из самого названия следует, что эквипотенциальные поверхности – это поверхности равного потенциала. Следовательно, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

Форма эквипотенциальных поверхностей связана с формой силовых линий: эквипотенциальные поверхности расположены так, что в каждой точке пространства силовая линия и эквипотенциальная поверхность взаимно перпендикулярны.

Если условиться проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между двумя соседними поверхностями была одинакова, то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля.

Вектор Е направлен в сторону уменьшения потенциала.

Если рассечь эквипотенциальную поверхность плоскостью, то в сечении получаются линии равного потенциала, эквипотенциальные линии.

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на произвольный отрезок потенциал остается неизменным (d = 0).

Тогда касательная составляющая вектора к поверхности равна нулю (= 0). Следовательно, вектор в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности. Действительно, будем перемещать пробный заряд q₀ вдоль эквипотенциальной поверхности из точки 1 в точку 2 (рис. 9). Допустим, что вектор направлен произвольно к поверхности под углом . При перемещении пробного заряда в электрическом поле должна совершаться работа. Используя формулы, (15а) и (29) получаем работа = , так как  = const.

Из последнего выражения следует, что cos = 0 при  = 90^о. Следовательно, вектор перпендикулярен касательной к эквипотенциальной поверхности в данной точке. Таким образом, линии напряженности проводятся всегда

Рис. 10

перпендикулярно эквипотенциальной поверхности (рис. 10). Если эквипотенциальные поверхности проводить так, чтобы разность потенциалов для любых соседних поверхностей была всюду одна и та же (₁  ₂ =1 В), то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности электрического поля.

9.Проводники и диэлектрики. Заряженный проводник. Проводник во внешнем электрическом поле.

Проводники – это вещества, в которых есть свободные электрические заряды. Концентрация свободных зарядов в металлических проводниках того же порядка, что и концентрация атомов. Эти заряды могут перемещаться в пределах проводника, если в нем создано электрическое поле.

Диэлектрики – это вещества, в которых почти нет свободных электрических зарядов.

В модели идеального диэлектрика свободные заряды отсутствуют.

Полупроводники по концентрации свободных зарядов занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. У них концентрация свободных зарядов очень сильно зависит от температуры.

Если проводник зарядить, то свободные заряды в нем придут в движение и двигаться они будут до тех пор, пока напряженность электрического поля в проводнике не станет равной нулю, так как сила, действующая на заряд, равна:

Если , то, согласно (3.16):

^,

т.е. равны нулю все производные потенциала, следовательно, внутри заряженного проводника потенциал постоянен, т.е. объем проводника и его поверхность – эквипотенциальны.

Если Е = 0 повсюду внутри проводника, значит равен нулю поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри проводника. Согласно теореме Гаусса из этого следует, что объемная плотность заряда внутри проводника равна нулю. Весь заряд проводника распределен по его поверхности. Напряженность электрического поля вне проводника перпендикулярна его поверхности, так как она эквипотенциальна.

Возьмем на поверхности проводника небольшой участок площадью и построим на нем «гауссов ящик» как это делается при расчете поля вблизи равномерно заряженной плоскости. Внутри проводника Е = 0, следовательно:

,

на основании теоремы Гаусса:

^,

следовательно, напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника:

^.

Проводник во внешнем электрическом поле

Если внести проводник в область, где существует электрическое поле, то в начальный момент времени поле в проводнике существует. Под действием силы, действующей на заряды в электрическом поле, свободные заряды придут в движение и будут перемещаться, пока напряженность электрического поля не станет равной нулю.

В результате движения зарядов в противоположных концах проводника возникают поверхностные заряды противоположного знака, которые называют индуцированными зарядами (см. рис. 5.1а, 5.1б, 5.1в):

Рис. 5.1а

Электроны под действием силы начинают двигаться против поля.

Рис. 5.1б

Перераспределившиеся заряды создают поле , направленное навстречу . Когда величина сравняется с , тогда результирующее поле в проводнике:

Рис. 5.1в

перераспределение электронов закончится.

Поле индуцированных зарядов накладывается на стороннее поле и приводит к его изменению, в итоге:

внутри проводника.

Вне проводника напряженность электрического поля вблизи его поверхности перпендикулярна поверхности, так как поверхность проводника – эквипотенциальная.

Часть силовых линий поля разрывается – они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных индуцированных зарядах.

Если внутри проводника есть полость, то электрическое поле в ней и во всем проводнике равно нулю. Этот эффект используется для экранирования от электрических полей. Если какое-то устройство нужно экранировать от внешних полей, его помещают в металлический экран, чаще сделанный из легкого металла с хорошей проводимостью – алюминия. Например, для качественной работы радио и телеприемников отдельные их узлы помещают в металлические экраны.