Пример 21.2. Пусть имеется информационное слово А=1011. Согласно формуле

2r - r - 1≥ k,

необходимо сформировать 3 контрольных разряда, которые в кодовом слове займут 1, 2 и 4 позиции, а именно:

Сформируем по модулю 2 контрольные разряды в соответствии с таблицей 21.2: r1=а1+а2+а4=1+1+1=1

r2=а1+а3+а4=1+0+1=0 r3=а2+а3+а4=1+0+1=0.

Получаем итоговое слово 1010101.

Можно построить КХ с d=4, который позволит корректировать одну и обнаруживать две ошибки. Для этого вводится еще один контрольный разряд для проверки на четность общего количества единиц в слове. Принятие решения об исправлении ошибки производится в соответствии с таблицей 21.3.

Таблица 21.3. Код Хэмминга с обнаружением двух и исправлением одной ошибки

______________________________________________________________

Проверочные Разряд Наличие ошибок суммы четности

______________________________________________________________

______________________________________________________________

21.5. Циклические коды

Циклические коды находят наибольшее распространение в СПД с обратной связью, что обусловлено их высокими корректирующими свойствами, сравнительно простой реализацией, невысокой избыточностью. Особенно они эффективны при обнаружении пакетных ошибок. Основное свойство циклических кодов, определившее их название, состоит в том, что любое n-разрядное кодовое слово

А=аn-1аn-2 . . . а1а0,

будучи циклически сдвинуто на один разряд, создает новое слово

А1=аn-2an-3 . . . a1a0an-1 ,

принадлежащее этому же циклическому коду.

Циклические коды относятся к блочным систематическим кодам, в которых каждая комбинация кодируется самостоятельно в виде блока таким образом, что информационные k и проверочные r элементы всегда находятся на определенных местах. Для упрощения процедуры кодирования и декодирования проверочные биты размещают в конце блока. Кодирование передаваемого сообщения осуществляется умножением двоичной последовательности G(х) на одночлен хr , имеющий ту же степень, что и образующий полином Р(х), с добавлением к этому произведению остатка R(х), полученного после деления произведения G(x)xr на образующий полином, то есть предаваемое в канал связи сообщение F(x) имеет вид:

F(x)=G(x)xr+R(x).

При декодировании принимаемая последовательность F(x) делится на образующий полином Р(х). Полученный нулевой остаток R(x)=0 свидетельствует об отсутствии ошибок в принятом блоке, а отличие от нуля - о наличии ошибок. Анализируя остаток, можно опре-

делить номера искаженных разрядов и скорректировать их.

Для построения циклических кодов в качестве образующих полиномов используются неприводимые многочлены. (Неприводимые многочлены делятся без остатка только на себя и на единицу). Р(х) может быть представлен в алгебраической форме либо в виде двоичного или восьмеричного числа. В последнем случае каждая восмеричная цифра отображает три разряда. Например, для полинома

Р(х)=х5+х3+1 двоичная запись имеет вид 101001, а соответствующая ему восьмеричная - 51. В табл. 21.4

приведены выборочно неприводимые многочлены до 12-й степени включительно. Полиномы записаны в алгебраической форме и в виде восьмеричных чисел (для степеней r≥ 6 - только восьмеричными числами).

Таблица 21.4. Неприводимые многочлены

__________________________________________________________

r Р(х) r P(x)

__________________________________________________________

__________________________________________________________

При выборе полинома следует иметь в виду, что степень образующего полинома не может быть меньше числа проверочных элементов r.

Одним из множеств разновидностей циклических кодов наиболее широко используются для исправления и обнаружения пакетов ошибок коды с кодовым расстоянием d≥ 5, разработанные Боузом, Чоудхури и Хоквингемом (БЧХ-коды). Коды БЧХ обнаруживают и исправляют любое число ошибок. При кодировании заданными являются число tи ошибок, которые нужно исправить, и длина блока n. Необходимо определить число информационных k и проверочных r элементов, а также вид образующего полинома.

Длина кодовой комбинации определяется по формуле n=2m-1,

где m - целое число. Например, при m=6 n=63; при m=7 n=127; при m=8 n=255 и т.д. Образующий полином находится как наименьшее общее кратное (НОК) минималь-

ных нечетных полиномов mi(x) до порядка 2tи-1 включительно:

Р(х)=НОК{m1(x)m3(x) . . . m2tn-1(x)}.

Минимальный многочлен представляет собой простой неприводимый полином. Существуют многочлены одного и того же порядка различных степеней. Степень минимальных многочленов, входящих в данное уравнение, должна быть равной m. Так как порядок (номер) самого старшего минимального многочлена 2tи-1, то количество многочленов, входящих в выражение для Р(х), равно числу исправляемых ошибок tи. Например, если tи=5, то 2tи-1=9 и в выражение для Р(х) будут входить многочлены m1(x), m3(x), m5(x), m7(x), m9(x).

Минимальные многочлены циклических кодов различных степеней представлены в приложении, где значения mI(x) даны в восьмеричной системе счисления. Так, полином 13-го порядка 9-й степени, представленный числом 453, в двоичной форме имеет вид 100101011, а многочлен записывается как х8+х5+х3+х+1. Для нахождения Р(х) необходимо выписать из таблицы все значения минимальных полиномов, соответствующих степени m, до порядка 2tи-1 включительно. При отсутствии в таблице полинома нужного порядка можно взять ближайший меньший, а если среди минимальных многочленов окажутся два одинаковых, то выбирают один из них.

От УПС

Буферный регистр

От распределителя

Рис. 21.9. Структурная схема декодера циклического кода

Основу декодирующих устройств циклических кодов также составляют делители многочленов на образующий полином (рис 21.9). Признаком наличия ошибок в принятой последовательности является ненулевой остаток от деления ее на Р(х). До завершения процесса деления необходимо запоминать поступивший блок в буферном накопителе. После окончания цикла производится опрос делителя, и в случае ошибки принятый блок стирают. При нулевом остатке блок выводится получателю через ключ Кл, а на его место записывается следующий. Для исправления ошибок в приемной части УЗО сначала находят ошибочные разряды, а затем изменяют их значение, то есть инвертируют Рассмотрим на конкретном примере исправление двукратных ошибок.

Пример 21.4. На вход приемной части УЗО поступают комбинации циклического кода 15,7, получаемые с помощью образующего полинома Р(х)=х8+х7+х6+х4+1. В процессе воздействия помех 2 бита кодовой комбинации могут быть искажены. Необходимо обнаружить наличие ошибок в поступившей 15-разрядной последовательности и произвести их исправление.

Пусть в дискретный канал передана комбинация 100000011101000, которая на выходе приемной части УПС приняла вид 111000011101000. Разделим принятую последовательность на образующий полином Р(х)=111010001, в остатке получим R(x)=01001110, т.е. вес остатка W=4, что свидетельствует о наличии ошибки в принятой кодовой комбинации. Сдвигая циклически эту комбинацию влево на 1 бит, получаем 110000111010001. Разделим полученную последовательность снова на Р(х). Остаток от деления равен 10011100, т.е. W=4. Сдвигаем циклически комбинацию еще раз, после чего она принимает вид 100001110100011. Разделив ее на 111010001, получим остаток 11101001, вес которого W=5. После третьего сдвига и деления на образующий полином вес остатка 00000011 становится равным двум. Так как W<=tи=2, то складываем кодовую комбинацию, полученную в результате последнего сдвига с остатком: 0000111011000111+ +00000011=000011101000100. Произведя циклический сдвиг полученной суммы вправо, имеем исправленную последовательность 100000011101000, совпадающую с переданной в канал связи.

Функциональная схема декодера, реализующего рассмотренный в примере алгоритм, приведена в Приложении.

21.6. Циклический код Файра как средство коррекции пакетов ошибок

Из циклических кодов, обнаруживающих и исправляющих пакеты ошибок, наиболее эффективным является циклический код Файра (КФ), образующий полином которого Р(х) определяется выражением:

Рф(х)=Р(х)(хс+1),