- •Предисловие
- •Введение
- •1. Роль и место прогнозирования при обосновании направления развития систем
- •1.1. Классификация методов прогнозирования
- •1.2. Краткая характеристика методов прогнозирования
- •1.3. Виды прогнозов. Основные термины и определения прогностики
- •2. Прогнозная экстраполяция. Оценка параметров прогнозных моделей методом наименьших квадратов. Точность и достоверность прогноза
- •2.1. Оценка параметров прогнозной модели методом наименьших квадратов
- •2.2. Точность и достоверность прогноза
- •3. Уравнения линеаризуемых трендов и трендов, сводящихся к модифицированной экспоненте
- •3.1. Парные регрессии, сводящиеся к линейному тренду
- •3.2. Парные регрессии, сводящиеся к модифицированной экспоненте
- •3.3. Выбор оптимального вида прогнозной модели
- •3.4. Проверка прогнозной модели на автокорреляцию ошибок
- •4. Многомерное параметрическое прогнозирование. Метод многомерной линейной экстраполяции
- •5. Метод экспоненциального сглаживания. Выбор постоянной сглаживания
- •5.1. Сущность метода экспоненциального сглаживания
- •5.2. Определение параметров прогнозной модели методом экспоненциального сглаживания
- •5.3. Выбор начальных условий и определение постоянной сглаживания
- •6. Вероятностные методы прогнозирования
- •6.1. Приложение теории суммирования случайного числа независимых случайных величин в задачах прогнозирования
- •6.2. Ориентированный процесс случайного блуждания как метод вероятностного моделирования
- •7. Математические модели процессов эволюционного развития техники
- •7.1. Математическое моделирование процессов развития техники
- •7.2. Прогнозная математическая модель динамики замещения
- •8. Экспертные методы прогнозирования. Морфологический анализ. Прогнозирование технического облика образца изделия
- •8.1. Морфологический анализ
- •8.2. Прогнозирование технического облика перспективного образца
- •8.3. Другие методы экспертного прогнозирования
- •3. Метод «мозговой атаки» («мозгового штурма»).
- •9. Методы выявления «сезонной» составляющей в рядах динамики
- •9.1. Выравнивание рядом Фурье
- •9.2. Измерение колеблемости в рядах динамики
- •9.3. Выявление и измерение сезонных колебаний
- •10. Зависимость средней ошибки прогноза от периода предыстории и величины прогнозируемого периода
- •10.1. Обоснование периода упреждения
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Приложение 1 Приложение 2 Квантили распределения максимального относительного отклонения
- •Приложение 3 Квантили распределения величины
- •Приложение 4 Приложение 5
- •Приложение 6 Приложение 6
- •Приложение 7
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
10.1. Обоснование периода упреждения
Период времени, на который разрабатывается прогноз – период упреждения. По периоду упреждения прогнозы делятся на оперативные (до 1 года); среднесрочные (до 5 лет); долгосрочные (от 5 до 15 лет); дальнесрочные (свыше 15 лет).
При разработке прогноза оценку его точности требуется производить заранее (априорно), когда интенсивное значение прогнозируемой величины еще не известно. Точность прогноза оценивается величиной доверительного интервала для заданной вероятности его осуществления, а под достоверностью понимают оценку вероятности осуществления прогноза в заданном доверительном интервале, то есть точность прогноза выражается с помощью вероятностных пределов фактической величины от прогнозируемого значения.
По теории статистики при условии, что случайные ошибки имеют нормальное распределение, величины разброса событий (доверительный интервал) при величине Р = 0,997 = ±3n, для Р = 0,95 = ±2n для Р = 0,68 =±n, где n – среднеквадратическая ошибка.
Так как величина n является среднеквадратической ошибкой «генеральной совокупности» величин уi, достигаемой лишь при i, то необходимо вводить поправку на недостаточный объем выборки. С этой целью в формулу вычисления границ доверительного интервала необходимо ввести коэффициент-значение t-статистики Стьюдента и оперировать выборочной среднего квадратического отклонения (СКО):
, (10.7)
где – выборочная среднеквадратическая ошибка тренда; ta- значение t-статистики Стьюдента.
Величина ta выбирается из таблиц статистики в зависимости от , где Р – заданная вероятность осуществления прогноза и , где n – число уравнений динамического ряда, m – число параметров уравнения тренда (для линейного тренда m =2).
В качестве меры рассеяния наблюдений вокруг линии регрессии принимают такую характеристику, как дисперсия:
; .
Погрешность в оценке параметров модели также учитывается дисперсиями дисперсией параметра а и дисперсией параметра b:
и
где .
Здесь параметр а есть выборочное среднее. Оценка дисперсии выборочного среднего при его распределении по нормальному закону представляет собой отношение остаточной дисперсии к общему числу наблюдений, то есть
.
Дисперсия параметра b представляет собой отношение относительной дисперсии к сумме квадратов отклонений (от средней) значение независимой переменной с учетом квадрата значения независимой переменной (переменной для которой определяется прогноз):
. (10.8)
Уравнение, определяющее средние квадратические ошибки линии тренда, можно записать в виде . В общем виде его можно представить как , где k – некоторая функция числа наблюдений и периода упреждения.
Величина k характеризует собой отношение средних квадратических ошибок, и для линейного тренда её можно определить как:
. (10.9)
Так как последовательность значений ti составляет натуральный ряд, то
и .
Величина характеризует расстояние z от середины динамического ряда до точки на оси времени, для которой делается прогностическая оценка.
Тогда
. (10.10)
Таким образом,
и представляет собой среднюю квадратическую ошибку уравнения, измеренную в единицах СКО от тренда. Этой величиной можно воспользоваться в качестве некоторого критерия погрешности, из ее значения определить минимально необходимое число наблюдений при заданном периоде упреждения.
Доверительный интервал также учитывает возможность отклонения от тренда. Если t=i+z (где z – количество единиц времени, на которое продлен тренд), то доверительный интервал прогноза, учитывающий эту ошибку (СКО прогноза), составит ,
где Sn – СКО прогноза.
Доверительный интервал уменьшается или увеличивается при увеличении продолжительности наблюдения (периода основания прогноза) и растет с увеличением периода упреждения прогноза.
Среднеквадратическая ошибка в основном зависит от . Таким образом, период упреждения – это функция ошибки прогноза, то есть , где интервал .
Ошибка прогноза – это функция, которая зависит от объема выборки, и это есть функция периода упреждения, то есть . Для того чтобы обосновать период упреждения ,его надо связать с n и , и, так как интервал , тогда
.
Следовательно, выражение для периода упреждения рассчитывается по формуле
.
Таким образом, чем больше период упреждения, тем больше ошибка прогноза [8].