- •Предисловие
- •Введение
- •1. Роль и место прогнозирования при обосновании направления развития систем
- •1.1. Классификация методов прогнозирования
- •1.2. Краткая характеристика методов прогнозирования
- •1.3. Виды прогнозов. Основные термины и определения прогностики
- •2. Прогнозная экстраполяция. Оценка параметров прогнозных моделей методом наименьших квадратов. Точность и достоверность прогноза
- •2.1. Оценка параметров прогнозной модели методом наименьших квадратов
- •2.2. Точность и достоверность прогноза
- •3. Уравнения линеаризуемых трендов и трендов, сводящихся к модифицированной экспоненте
- •3.1. Парные регрессии, сводящиеся к линейному тренду
- •3.2. Парные регрессии, сводящиеся к модифицированной экспоненте
- •3.3. Выбор оптимального вида прогнозной модели
- •3.4. Проверка прогнозной модели на автокорреляцию ошибок
- •4. Многомерное параметрическое прогнозирование. Метод многомерной линейной экстраполяции
- •5. Метод экспоненциального сглаживания. Выбор постоянной сглаживания
- •5.1. Сущность метода экспоненциального сглаживания
- •5.2. Определение параметров прогнозной модели методом экспоненциального сглаживания
- •5.3. Выбор начальных условий и определение постоянной сглаживания
- •6. Вероятностные методы прогнозирования
- •6.1. Приложение теории суммирования случайного числа независимых случайных величин в задачах прогнозирования
- •6.2. Ориентированный процесс случайного блуждания как метод вероятностного моделирования
- •7. Математические модели процессов эволюционного развития техники
- •7.1. Математическое моделирование процессов развития техники
- •7.2. Прогнозная математическая модель динамики замещения
- •8. Экспертные методы прогнозирования. Морфологический анализ. Прогнозирование технического облика образца изделия
- •8.1. Морфологический анализ
- •8.2. Прогнозирование технического облика перспективного образца
- •8.3. Другие методы экспертного прогнозирования
- •3. Метод «мозговой атаки» («мозгового штурма»).
- •9. Методы выявления «сезонной» составляющей в рядах динамики
- •9.1. Выравнивание рядом Фурье
- •9.2. Измерение колеблемости в рядах динамики
- •9.3. Выявление и измерение сезонных колебаний
- •10. Зависимость средней ошибки прогноза от периода предыстории и величины прогнозируемого периода
- •10.1. Обоснование периода упреждения
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Приложение 1 Приложение 2 Квантили распределения максимального относительного отклонения
- •Приложение 3 Квантили распределения величины
- •Приложение 4 Приложение 5
- •Приложение 6 Приложение 6
- •Приложение 7
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
6.1. Приложение теории суммирования случайного числа независимых случайных величин в задачах прогнозирования
П остановка задачи. В результате анализа объекта прогнозирования и прогнозного фона на периоде ретроспекции (периоде основания прогноза) установлено, что процесс развития системы может быть представлен ступенчатым процессом (последовательностью скачков, совершаемых в случайные моменты времени). Величина скачка (рис. 6.2) является случайной величиной, поведение которой описывается законом распределения . Число скачков n на периоде упреждения прогноза является случайным,
Рис. 6.2. Постановка задачи
распределенным по закону . Требуется определить функцию распределения выходного параметра системы y.
Решение. Традиционным (основным) аналитическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики является аппарат характеристических функций. Известно, что если – действительная случайная величина, то существует комплексная случайная величина (где – мнимая единица, t – действительное число).
Функция вида
,
где E – символ математического ожидания, называется характеристической функцией случайной величины , то есть характеристическая функция случайной величины есть математическое ожидание комплексной случайной величины .
Характеристическая функция безразмерна, а параметр t имеет размерность, обратную размерности случайной величины .
Используем основные свойства характеристических функций для решения задачи, из условия решения которой известно, что выходной параметр системы y зависит как от случайного числа скачков n на периоде упреждения, так и от случайной величины каждого скачка. При этом случайные величины независимы, одинаково распределены и не зависят от случайной величины n.
Примем, что число скачков на периоде упреждения прогноза может быть определено законом Пуассона
,
с параметром , причем для распределения Пуассона справедливо соотношение .
Случайная же величина y (величина скачка) имеет стандартное нормальное распределение с параметрами , и
плотностью вероятности
.
Таким образом, чтобы получить закон распределения выходного параметра, необходимо рассмотреть распределение суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин.
На основании мультипликативного свойства характеристической функции – характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций случайных величин, то есть если , то
,
можно записать, что интегральная функция распределения суммы случайного числа n случайных величин определяется характеристической функцией
,
где – характеристическая функция случайной величины .
Рассмотрим характеристическую функцию стандартного нормального распределения:
Так как интеграл , то .
Отсюда характеристическая функция суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин имеет вид
.
Для определенности случай из рассмотрения исключим. Тогда
.
Исходя из формулы обращения
;
,
тогда
.
В результате интегрирования получим искомую плотность распределения:
.
В табл.6.1. приведем формулы для характеристических функций, наиболее часто встречающихся при решении практических задач.
Решим поставленную задачу при условии, что величина скачка равномерно распределена на интервале . Такое допущение о законе распределения скачка представляется целесообразным для коротких динамических рядов. Симметричность интервала не снижает общности рассуждений.
Характеристическая функция для функции распределения суммы случайного числа случайных величин , распределенных равномерно на интервале ,
.
Таблица 6.1. Характеристические функции
Распределение |
Плотность распределения |
Характеристическая функция |
Равномерное |
, |
|
Равномерное |
, |
|
Показательное |
, |
|
Гамма |
, |
|
Нормальное |
, |
|
В соответствии с формулой обращения запишем формулу для плотности распределения:
.
Изменяя порядок суммирования и интегрирования и учитывая, что симметричные законы распределения в характеристической функции не имеют членов, содержащих мнимую единицу, плотность распределения представим в виде
.
Используя табличный интеграл вида
,
находим плотность распределения выходной величины:
,
при , где и , при , .
В табл. 6.2 приведены выражения для плотностей распределения выходной координаты при других условиях решениях поставленной задачи.
Таблица 6.2. Расчетные соотношения для плотности распределения величины Y
Закон распределения числа скачков n |
Закон распределения величины скачка y |
Плотность распределения |
Пуассона, параметр |
Нормальный, параметры |
|
То же |
Экспоненциальный, параметр |
|
То же |
Гамма-, параметры m, k |
|
То же |
Логнормальный, параметры |
|
Окончание табл. 6.2
То же |
Равномерный [–a, a] |
|
Биномиальный, параметр р |
Нормальный, параметры |
|
То же |
Экспоненциальный, параметр |
|
То же |
Гамма-, параметры m, k |
|
Необходимо помнить, что если и , а , то для математического ожидания суммы случайного числа случайных слагаемых справедлива так называемая формула Вальда
.
Дисперсия суммы может быть определена через второй момент:
,
откуда
.
Рассмотрим еще один подход, при котором теоретическая вероятностная модель сочетается с экстраполяционной моделью на ЭВМ. Этот подход применяется тогда, когда вероятностную модель трудно составить из-за больших неопределенностей или модель трудно исследовать из-за ее сложности. При использовании этого метода, неопределенности «реализуются» случайным образом, путем использования процедуры Монте-Карло.