5. Метод экспоненциального сглаживания. Выбор постоянной сглаживания
При использовании метода наименьших квадратов для определения прогнозной тенденции (тренда) заранее предполагают, что все ретроспективные данные (наблюдения) обладают одинаковой информативностью. Очевидно, логичнее было бы учесть процесс дисконтирования исходной информации, то есть неравноценность этих данных для разработки прогноза. Это достигается в методе экспоненциального сглаживания путем придания последним наблюдения динамического ряда (то есть значениям, непосредственно предшествующим периоду упреждения прогноза) более значимых «весов» по сравнению с начальными наблюдениями. К достоинствам метода экспоненциального сглаживания следует также отнести простоту вычислительных операций и гибкость описания различных динамик процесса. Наибольшее применения метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов [2].
5.1. Сущность метода экспоненциального сглаживания
Сущность метода состоит в том, что динамический ряд сглаживается с помощью взвешенной «скользящей средней», в которой веса подчиняются экспоненциальному закону. Другими словами, чем дальше от конца временного ряда отстоит точка, для которой вычисляется взвешенная скользящая средняя, тем меньше «участия она принимает» в разработке прогноза.
Пусть исходный
динамический ряд состоит из уровней
(составляющих ряда)
.
Для каждых
последовательных уровней этого ряда
(m<n)
можно подсчитать среднюю величину.
Вычислив значение средней для первых
уровней
,
переходят затем к расчету средней для
уровней
и так далее. Таким образом, интервал
сглаживания, то есть интервал, для
которого подсчитывается средняя, как
бы скользит по динамическому ряду с
шагом, равным единице. Если
– нечетное число, а предпочтительно
брать нечетное число уровней, поскольку
в этом случае расчетное значение уровня
окажется в центре интервала сглаживания
и им легко заменить фактическое значение,
то для определения скользящей средней
можно записать следующую формулу:
,
где
– значение скользящей средней для
момента
(
);
– фактическое значение уровня в момент
;
– порядковый номер уровня в интервале сглаживания.
Величина
определяется из продолжительности
интервала сглаживания. Поскольку
при нечетном , то
.
Расчет скользящей средней при большом числе уровней можно упростить, определяя последовательные значения скользящей средней рекурсивно:
.
Но исходя из того, что последним наблюдениям необходимо придать больший «вес», скользящее среднее нуждается в ином толковании. Оно заключается в том, что полученная с помощью усреднения величина заменяет не центральный член интервала усреднения, а его последний член. Соответственно этому последнее выражение можно переписать в виде
.
(5.1)
Здесь скользящая
средняя, относимая к концу интервала,
обозначена новым символом
.
По существу,
равно
,
сдвинутому на
шагов вправо, то есть
,
где
.
Учитывая, что
является оценкой величины
,
выражение (5.1) можно переписать в виде
,
(5.2)
где
является оценкой
,
определяемой выражением (5.1).
Если вычисления (5.2) повторять по мере поступления новой информации и переписать в ином виде, то получим сглаженную функцию наблюдений:
,
или в эквивалентной форме
(5.3)
Вычисления,
проводимые по выражению (5.3) с каждым
новым наблюдением, называются
экспоненциальным сглаживанием. В
последнем выражении для отличия
экспоненциального сглаживания от
скользящего среднего введено обозначение
вместо
.
Величина
,
являющаяся аналогом
,
называется постоянной сглаживания.
Значения
лежат в интервале
.
Если
представить в виде ряда
,
то
нетрудно заметить, что «веса» убывают
по экспоненциальному закону во времени.
Например, для
получим
0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + …
Сумма ряда стремится к единице, а члены суммы убывают со временем.
Величина
в выражении (5.3) представляет собой
экспоненциальную среднюю первого
порядка, то есть среднюю, полученную
непосредственно при сглаживании данных
наблюдения (первичное сглаживание).
Иногда при разработке статистических
моделей полезно прибегнуть к расчету
экспоненциальных средних более высоких
порядков, то есть средних, получаемых
путем многократного экспоненциального
сглаживания.
Общая запись в
рекуррентной форме экспоненциальной
средней порядка
имеет вид
.
Величина изменяется в пределах 1, 2, …, p, p+1, где p – порядок прогнозного полинома (линейного, квадратичного и так далее).
На основе этой формулы для экспоненциальной средней первого, второго и третьего порядков получены выражения
;
;
.