Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теор и мет стат прогн 2008.doc
Скачиваний:
32
Добавлен:
28.09.2019
Размер:
3.15 Mб
Скачать

10. Зависимость средней ошибки прогноза от периода предыстории и величины прогнозируемого периода

Одной из важнейших задач прогнозирования является повышение точности расчетов. Критерием точности может служить средняя ошибка прогноза, вычисляемая по формуле

, (10.1)

где – фактические уровни временного ряда;

– прогнозируемые уровни временного ряда;

n – период предыстории (n=1, 2, . . . , N);

l – прогнозируемый период (l=N+1, N+2, …, T).

Как известно, точность прогноза зависит как от длины периода предыстории, так и от величины прогнози­руемого периода. Поэтому можно построить модель, характеризующую зависимость средней ошибки прогноза от двух параметров n и l:

. (10.2)

Процедура построения модели (2) осуществляется следующим образом. Весь временной ряд t (t=1, 2, ..., Т) разбивается на две части: первая – n(n=1,2,...,N) принимается за период предыстории, вторая – l(l=N+1, N+2, ..., Т) – за прогнозируемый период. Для периода n строится модель прогноза , по которой прогнозируются уровни временного ряда yt на период l. С этой целью в полученное уравнение модели прогноза последовательно подставляют значения t, равные N+1, N+2,..., Т, то есть порядковые номера лет периода прогноза, и получают прогнозируемые уровни временного ряда на период l. По существу, мы осуществляем ретроспективный прогноз. Поскольку фактические значения временного ряда за период l известны, можно определить величину средней ошибки прогноза за этот период. Далее период предыстории увеличивается на один момент времени, то есть его длина становится (n+1), а период прогнозирования тем самым уменьшается на единицу. Для временного ряда длиной (n+1) строится модель прогноза, по которой осуществляется прогнозирование на период l–1, то есть на N+2,N+3,..., T, и находится средняя ошибка прогноза. Такая процедура повто­ряется до тех пор, пока прогнозируемый период не будет равен нескольким моментам времени, по которым еще можно будет проверять ретроспективный прогноз1. В результате, можно построить таблицу, в которой будут содержаться данные для построения модели зависимости средней ошибки прогноза от длины периода предыстории и величины прогнозируемого периода.

Таблица 10.1. Данные для построения модели

Средняя ошибка прогноза

Величина периода предыстории n

Величина прогнозируемого периода l

Вышеописанный метод проиллюстрируем на примере временного ряда выпуска цемента в СССР за период с 1950 по 1971 г. (табл. 10.2 гр. 3):

– средняя ошибка аппроксимации 9,1 10,8 12,4 12,8 12,7 12,9 13,4;

– средняя ошибка прогноза 19,4 15,9 12,4 10,6 9,9 8,0 5,1.

Таблица 10.2. Определение средней ошибки периода

Годы

t

Выпуск

цемента

(млн.т)

Относительные ошибки аппроксимации и прогноза в процентах

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10,2

12,1

13,9

16,0

19,0

22,5

24,9

28,9

33,3

38,8

45,5

50,9

57,3

61,0

64,9

72,4

80,0

84,8

87,5

89,7

95,2

100,3

+30,0

+13,0

-0,2

-8,2

-9,0

-7,1

-10,4

-6,9

-2,8

+3,0

+9,7

+12,6+

+16,6

+16,1

+15,9

+19,9

+23,3

+23,6

+22,1

+20,2

+21,0

+21,8

+38,1

+17,8

+2,2

-7,7

-9,0

-8,9

-13,1

-10,0

-6,4

-0,7

+6,1

+8,9

+12,7

+12,1

+11,7

+15,9

+19,3

+19,6

+17,9

+15,8

+16,9

+17,4

+46,8

+23,8

+5,1

-6,7

-10,3

-10,4

-15,3

-12,8

-9,5

-4,0

+2,8

+5,5

+9,2

+8,4

+7,9

+12,2

+15,6

+15,8

+13,9

+11,7

+12,8

+13,4

+52,5

+26,5

+7,2

-5,8

-10,3

-11,0

-16,5

-14,3

-11,3

-5,9

+0,8

+3,4

+7,2

+6,2

+5,7

+9,9

+13,4

+13,6

+11,7

+9,3

+10,3

+10,9

56,4

+29,2

+8,7

-5,0

-10,1

-11,3

-17,1

-15,2

-12,3

-7,0

-0,3

+2,2

+6,0

+4,9

+4,3

+8,6

+12,1

+12,1

+10,2

+7,8

+8,8

+9,4

+62,6

+33,3

+11,4

-3,6

-9,6

-11,5

-17,8

-16,3

-13,7

-8,5

-1,9

+0,6

+4,2

+3,1

+2,3

+6,6

+10,1

+10,3

+8,1

+5,6

+6,6

+7,1

+70,4

+38,6

+14,8

-1,6

-8,8

-11,5

-18,5

-17,4

-15,1

-10,2

-3,6

-1,3

+2,3

+1,0

+0,1

+4,4

+7,9

+8,0

+5,7

+3,1

+4,1

+4,6

Весь период в 22 года был разбит на две равные части, то есть n=11; l=11. Затем для отрезка исследуемого ряда за период с 1950 г. по 1960 г. была построена линейная модель

. (10.3)

Подставляя в это уравнение порядковые номера последующих лет (t=12,13, .., 22), получаем относительные ошибки прогноза для каждого года на период c 1961 г. по 1971 г. по формуле

. (10.4)

По формуле (10.1) находится средняя ошибка прогноза для этого отрезка временного ряда. Относительные ошибки прогноза и средняя ошибка прогноза представлены в табл. 10.2, гр. 42. Далее период предыстории был увеличен до 12 лет (1950 – 1961 гг.), построена модель прогноза

; (t=1,2,…,12) (10.5)

и осуществлена экстраполяция на период 1962 – 1971 гг., в результате которой были определены относительные ошибки прогноза по годам и средняя ошибка прогноза (табл. 10.2, г.р.2).

Модели прогноза для всех проделанных этапов пред­ставлены в табл. 10.3, а в табл. 10.2 – величины относи­тельных и средних ошибок аппроксимации.

Таблица 10.3. Модели прогноза по этапам прогнозирования

Период предыстории (годы)

Период прогноза (годы)

Уравнения для моделей прогноза

1950—1960

(11 лет)

1961—1971

(11 лет)

yt = 3,744+3,393t

1950-1961

(12 лет)

1962—1971

(10 лет)

yt = 2,670+3,641t

1950—1962

(13 лет)

1963—1971

(9 лет)

уt= 1,546+3,881t

1950—1963

(14 лет)

1964-1971

(8 лет)

yt = 0,815+4,027t

1950—1964

(15 лет)

1965—1971

(7 лет)

уt = 0,326+4,119t

1950—1965

(16 лет)

1966—1971

(6 лет)

yt = -0,445+4,255t

1950—1966

(17 лет)

1967—1971

(5 лет)

yt = -1,39.8+4,414t

В результате проделанных расчетов была получена информация для построения модели, характеризующей зависимость средней ошибки прогноза от длины периода предыстории и прогнозируемого периода (табл. 10.4).

На основании данных табл. 10.4 была построена модель зависимости средней ошибки прогноза от периода предыстории и периода прогноза:

. (10.6)

Таблица 10.4.Средние ошибки прогноза и величина периода предыстории и прогнозируемого периода

Средняя ошибка прогноза

Период предыстории

n (лет)

Период прогноза l (лет)

19,4

13,9

12,4

10,6

9,9

8,0

5,1

11

12

13

14

15

16

17

11

10

9

8

7

6

5

Коэффициент множественной корреляции, равный 0,981, указывает на довольно тесную связь между средней ошибкой прогноза и обоими факторами. Вариация средней ошибки прогноза на 96,2 % объясняется колеблемостью периода предыстории и прогнозируемого периода, о чем свидетельствует величина коэффициента множественной детерминации (R2 = 0,962).

Это уравнение показывает, что увеличение периода предыстории на один год снижает ошибку прогноза на 441 %. В то же время увеличение прогнозируемого периода на один год ведет к увеличению средней ошибки на 1,741 %.

Итак, точность прогноза объясняется совместным влиянием периода предыстории и периода прогноза.