5.3. Выбор начальных условий и определение постоянной сглаживания
Как следует из выражения
,
при
проведении экспоненциального сглаживания
необходимо знать начальное (предыдущее)
значение сглаживаемой функции. В
некоторых случаях за начальное значение
можно взять первое наблюдение, чаще
начальные условия определяются согласно
выражениям (5.4) и (5.5). При этом величины
,
и
определяются методом наименьших
квадратов.
Если мы не очень
доверяем выбранному начальному значению,
то, взяв большое значение постоянной
сглаживания
через k
наблюдений, мы доведем «вес» начального
значения до величины
,
и оно будет практически забыто. Наоборот,
если мы уверены в правильности выбранного
начального значения и неизменности
модели в течение определенного отрезка
времени в будущем,
может быть выбрано малым (близким к 0).
Таким образом, выбор постоянной сглаживания (или числа наблюдений в движущейся средней) предполагает принятие компромиссного решения. Обычно, как показывает практика, величина постоянной сглаживания лежит в пределах от 0,01 до 0,3.
Известно несколько переходов, позволяющих найти приближенную оценку . Первый вытекает из условия равенства скользящей и экспоненциальной средней
,
где m – число наблюдений в интервале сглаживания. Остальные подходы связываются с точностью прогноза.
Так, возможно определение исходя из соотношения Мейера:
,
где
– среднеквадратическая ошибка модели;
– среднеквадратическая
ошибка исходного ряда.
Однако использование последнего соотношения затруднено тем, что достоверно определить и из исходной информации весьма сложно.
Часто параметр
сглаживания, а заодно и коэффициенты
и
подбирают оптимальными в зависимости
от критерия
путем решения алгебраической системы уравнений, которую получают, приравнивая к нулю производные
; 
; 
.
Так, для линейной модели прогнозирования исходный критерий равен
.
Решение этой системы с помощью ЭВМ не представляет никаких сложностей.
Для обоснованного выбора также можно использовать процедуру обобщенного сглаживания, которая позволяет получить следующие соотношения, связывающие дисперсию прогноза и параметр сглаживания для линейной модели:
для квадратичной модели
,
где
;
– СКО аппроксимации исходного
динамического ряда.
6. Вероятностные методы прогнозирования
Часто на практике
приходится иметь дело с задачей
прогнозирования случайных величин, и
это является предпосылкой применения
вероятностных моделей. Вероятностные
модели позволяют вычислить вероятность
того, что будущее значение параметра
прогнозируемого процесса будет меньше
определенного числа, например, вероятность
того, что
.
Величина y
может находиться в пределах
так, как в соответствии с рис. 6.1
и
Рис. 6.1. Функция распределения вероятностей
Показанная на
рисунке кривая распределения непрерывной
случайной величины y
является графиком функции распределения
.
Функция распределения существует как
для непрерывных, так и для дискретных
случайных величин и является универсальной
характеристикой случайных величин.
Зная функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной величины на заданный участок :
.
Для непрерывных случайных величин очень часто рассматривается
производная функции распределения
,
или плотность распределения непрерывной случайной величины y. Вероятность попадания случайной величины y на некоторый участок
.
Таким образом, прогнозирование вероятности того или иного события может быть осуществлено при прогнозировании рассмотренных функций распределения. Причем во многих практических случаях нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, а бывает достаточно спрогнозировать только некоторые параметры распределения (например, математическое ожидание и дисперсию).
В некоторых случаях полученные в результате наблюдений за прогнозируемым процессом данные могут быть описаны широкоизвестными распределениями непрерывных и дискретных случайных величин, среди которых: нормальное распределение, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, распределение Пуассона и некоторые другие.
Если вид и параметры названных распределений не меняются по времени и в распоряжении имеется достаточное по объему количество наблюдений, то решение задачи прогнозирования не вызывает особых затруднений. Строится эмпирическое распределение, решается вопрос о выборе для данного эмпирического распределения теоретической кривой распределения и по ней с требуемой точностью производится прогнозирование. Однако на практике, как правило, в распоряжении исследователя имеется ограниченная информация о процессе и, кроме того, не всегда можно гарантировать неизменность вида и параметров распределения. Эти условия предопределяют применение более сложных вероятностных моделей, базирующихся на последних достижениях теории вероятностей. К таким наиболее интенсивно разрабатываемым областям теории вероятностей относятся, в частности, теория малых выборок и теория суммирования случайного числа независимых случайных величин.