10. Марковские случайные процессы. Простейший поток отказов. [1/1]

Пусть исследуемая система с течением времени меняет свое состояние, т.е. переходит из одного состояния в другое, причем заранее неизвестным случайным образом. Тогда говорят, что в системе протекает случайный процесс. Случайный процесс протекающий в системе называетсяМарковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависит только от его состояния в данный момент времени t₀ и не зависит от того когда и как система пришла в это состояние.

Рассмотрим Марковский случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Предполагается, что возможно состояние систем можно перечислить или перенумеровать (z₁,z₂……) и переход системы из состояния в состояние происходит практически мгновенно (скачком), и моменты этих скачков (переходов) неизвестны заранее и могут принимать любые значения.

Пример: техническое устройство состоит из двух узлов. Каждый из них в случайный момент времени может выйти из строя. После чего практически мгновенно начинается ремонт узла, которое продолжается заранее неизвестное время.

Возможные состояния:

z₀ – оба исправны.

z₁ – первый ремонтируется, второй исправен.

z₂ – второй ремонтируется, первый исправен.

z₃ – оба ремонтируются.

Предполагается, что отказы узлов является независимыми и вероятность одновременного отказа двух узлов пренебрежимо мало. Последовательность отказов следующих один за другим в случайные моменты времени называются потоком отказов. Этот поток должен удовлетворять трем условиям:

1) Стационарность означает, что характеристики потока отказов не зависят от времени .

.

Для каждого узла выполняется =const, =const, i=1,2… Интенсивность потока отказов – это среднее число отказов приходящих в единицу времени.

; -число отказавших элементов за время Δt.

- число исправных элементов к моменту времени t.

2) Ординарность означает, что вероятностью наступления двух и более отказов в течение малого интервала времени Δt можно пренебречь.

3) Отсутствие последствия. Различные события (отказы или восстановления) появляются в те или другие моменты времени не зависимо друг от друга.

Поток отказов, который удовлетворяет трем названным условиям называют простейшим потоком отказов. Если все потоки событий (отказов или восстановлений) переводящих систему из одного состояния в другое – простейшие, то протекающий в системе процесс будет Марковским. 16

11. Уравнения Колмогорова для определения вероятностей состояний системы. Пример. [1/3]

Пример: техническое устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего, практически мгновенно, начинается ремонт узла, который продолжается заранее известное время.

Составим размеченный граф переходов:

Возможные состояния:

z₀ – оба исправны.

z₁ – первый ремонтируется, второй исправен.

z₂ – второй ремонтируется, первый исправен.

z₃ – оба ремонтируются.

Интенсивность потока отказов – это среднее число отказов на единицу времени.

- число отказавший элементов за время

- число исправных элементов к моменту времени t.

P­_i(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии z_i

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являются вероятности p_i(t) называют уравнениями Колмогорова

P­₀(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии z₀

Дадим малое приращение t+∆t и найдём p₀(t+∆t) – вероятность того, что система будет находиться в состоянии z₀ в момент времени t+∆t

1. p₀(t)[1-]

- выводящие потоки

- вероятность того, что за время система выйдет из состоянияz₀

2. p₁(t)

- Вероятность перехода системы из состояния z₁ в состояние z₀ за время

3. p₂(t)

- Вероятность перехода системы из состояния z₂ в состояние z₀ за время

17

p₀(t+∆t)= p₀(t)[1-]+ p₁(t) +p₂(t)

Любое из этих уравнений можно отбросить и заменить на уравнение формировки p₀+p₁+p₂+p₃=1

Начальные условия p₀(0)=1 p₁(0)=p₂(0)=p₃(0)=0

Общее правило составлений уравнений Колмогорова: в левой части каждого уравнения стоит произведение вероятности какого-нибудь i-го состояния. В правой части сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние умноженное на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из этого состояния, умноженное на вероятность данного i-го состояния.

Заменяя левые части в уравнениях нулями, получим систему линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестными является финальные вероятности. Под финальной вероятностью понимают предел, к которому стремится функция p_i(t)

Финальную вероятность состояния z_i можно толковать как среднее относительное время пребывание системы в этом состоянии

	0.4	0.2	0.25	0.15
	2/5	1/5	1/4	3/20
	Z0	Z1	Z2	Z3

Пример: граф состояний имеет вид

Определить финальные вероятности нахождения системы в состояниях 1,2 и 3 то есть

18

;;

Отбросим второе уравнение и запишем вместо него уравнение нормировки:

;

;

Это непрерывная, нелинейная, стационарная, стохастическая система

Эта модель является стохастической, т.к. каждой паре входящих состояний ставятся в соответствие лишь определённые вероятности реализации выхода и состояния Y и Z. Роль выходных сигналов играют события, которые составляют потоки отказов и потоки восстановлений, они переходят из одного состояния в другое.

19