4. Основные системные свойства: линейность, непрерывность, стационарность, детерминированность. Классификация математических моделей. Системные и конструктивные модели. [1/2]

Для перехода от общесистемной модели к системной, необходимо рассмотреть 4 системных свойства:

1) Непрерывность N. Если интервал функционирования системы представляет собой отрезок оси действительных чисел, заданных началом и концом , то говорят, что система функционирует в непрерывном времени. Если кроме того, непрерывны операторыf и , то система называетсянепрерывной.

2) Линейность L. С точки зрения реакции на внешние воздействия, объекты разделяют на линейные и нелинейные.

Линейным называется объект, реакция которого на сумму двух любых внешних возмущений равна сумме реакций на каждое из этих возмущений, приложенных к объекту в отдельности:

Для линейных объектов выполняется принцип суперпозиции.

- оператор объекта. устанавливает связь между входом и выходом объекта. Необходимо, чтобы, иначе объект должен быть центрирован.

3) Стационарность C. Стационарная система при фиксированном начальном состоянии , одинаково реагирует на эквивалентные (отличающиеся только сдвигом во времени) входные воздействия. Поэтому расположение интервала функционированияна оси времени не влияет на функционирование системы.

4) Стохастичность P. Если в общесистемной модели:

Где - (3);

операторы ик каждой паре «вход состояние»ставить соответствие, единственные значения, то описываемая этой моделью система, называетсядетерминированной. Для стохастической и вероятностной систем случайные величины с заданными законами распределения.

5

Классификация математических моделей.

Общесистемная и системная модели обладают высокой степенью общности и позволяют выявить общие закономерности, которые присуще всем или широкому классу систем. Они важны для теоретических исследований. На практике используют, так называемые, конструктивные модели. Конструктивная модель представляет собой алгоритм, пользуясь которым можно определить значение одних переменных, характеризующих систему, по заданным или измеренным значениям других переменных. Построение математических моделей технических объектов представляет собой цепочку преобразований:

Общесистемная модель-> Системная модель->

Конструктивная модель ->Машинная модель. При построении математических моделей процессов функционирования систем применяют несколько подходов:

1. непрерывно-детерминированный подход (дифференциальные уравнения);

2. дискретно-детерминированный подход (цифровые автоматы);

3. дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы);

4. непрерывно-стохастический подход (системы массового обслуживания);

5. универсальный или обобщенный подход (агрегативные системы).

6

5. Непрерывно-детерминированные модели (d-схемы). Уравнения вход-выход. Уравнения в пространстве состояний. [1/3]

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами k-го порядка:

(1) – уравнение «вход-выход».

Решение уравнения (1) зависит:

1) от входного воздействия x(t);

2) от начальных условий

Введем в рассмотрение переменные состояния:

(2) – уравнение в нормальной форме Коши

(3) – уравнение в пространстве состояний

Начальные условия : ;

- вектор – столбец переменных или координат состояний. .

Сравнивая уравнения (2) и (3) получаем:

матрица координат состояния (переменных):

7

(4)

Матрица коэффициентов входных воздействий

В общем случае, когда передаточная функция системы имеет вид:

Матрица А определяется выражением (4)

Уравнение (3) можно представить также в виде структурной схемы:

Двойными стрелками обозначены векторные величины

8

x,y в уравнение (3) и на данной схеме в общем случае представляют собой векторы соответствующих размерностей

Пространство, координатами которого являются переменные называетсяпространством состояний. Размерность пространства равна порядку системы дифференциальных уравнений. Если в уравнении (3) перейти от функции времени, т.е. векторов к их преобразованию по Лапласу, предполагая начальные условия нулевыми, т.е., то:

-передаточная матрица (функция системы)

9